Avalie a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse tipo de problema está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo funções racionais com potências no denominador. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração que lidam com potências de polinômios no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador. A integral fica assim:
Perceba que
pode ser reescrito como
, mas isso não simplifica diretamente a integração. Portanto, precisamos pensar em outra abordagem.
Passo 3
Vamos tentar uma substituição para simplificar a integral. Observe que a derivada de
é
. No entanto, no numerador temos apenas
, sem o termo
. Isso sugere que uma substituição direta pode não ser a melhor opção. Então, vamos considerar expandir a expressão usando a série binomial.
Passo 4
A expressão
pode ser expandida usando a série binomial:
Onde
são os coeficientes binomiais. Isso nos permite reescrever a integral como uma soma infinita:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral original se torna:
Passo 6
Finalmente, para expressar a solução de forma mais compacta, podemos deixar a integral como uma série:
Resposta
A integral avaliada é:
Onde
é a constante de integração.
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