Avalie a integral. integral d x(1-x^2)^3 cdot 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral dx(1 - x^2)^6. Esse tipo de problema está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo funções racionais com potências no denominador. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração que lidam com potências de polinômios no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador. A integral fica assim:
integral dx(1 - x^2)^6
Perceba que (1 - x^2)^6 pode ser reescrito como (1 - x)^6(1 + x)^6, mas isso não simplifica diretamente a integração. Portanto, precisamos pensar em outra abordagem.

Passo 3

Vamos tentar uma substituição para simplificar a integral. Observe que a derivada de 1 - x^2 é -2x. No entanto, no numerador temos apenas dx, sem o termo x. Isso sugere que uma substituição direta pode não ser a melhor opção. Então, vamos considerar expandir a expressão usando a série binomial.

Passo 4

A expressão (1 - x^2)^-6 pode ser expandida usando a série binomial:
(1 - x^2)^-6 = sumn=0^infty binomn + 55 x^2n
Onde binomn + 55 são os coeficientes binomiais. Isso nos permite reescrever a integral como uma soma infinita:
integral dx(1 - x^2)^6 = sumn=0^infty binomn + 55 integral x^2n dx

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral x^2n dx = x^2n + 12n + 1 + C
Então, a integral original se torna:
sumn=0^infty binomn + 55 x^2n + 12n + 1 + C

Passo 6

Finalmente, para expressar a solução de forma mais compacta, podemos deixar a integral como uma série:
integral dx(1 - x^2)^6 = sumn=0^infty binomn + 552n + 1 x^2n + 1 + C

Resposta

A integral avaliada é:
integral dx(1 - x^2)^6 = sumn=0^infty binomn + 552n + 1 x^2n + 1 + C
Onde C é a constante de integração.

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