Avalie a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar o método de integração por partes. Basicamente, vamos dividir a integral em duas partes que são mais fáceis de manejar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais partes da nossa integral vão ser e na fórmula da integração por partes. A fórmula é:
Aqui, vamos escolher porque é uma função que ao derivarmos simplifica, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e :
  • Derivando :
  • Integrando :
Como estamos fazendo integração por partes, a constante pode ser ignorada nesse passo.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo , e :
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver para a integral original. Vamos chamar a integral de :
Somando dos dois lados:
Dividindo por 2:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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