Avalie a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar o método de integração por partes. Basicamente, vamos dividir a integral em duas partes que são mais fáceis de manejar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais partes da nossa integral vão ser
e
na fórmula da integração por partes. A fórmula é:
Aqui, vamos escolher
porque é uma função que ao derivarmos simplifica, e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
:
- Derivando
:
- Integrando
:
Como estamos fazendo integração por partes, a constante
pode ser ignorada nesse passo.
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver para a integral original. Vamos chamar a integral de
:
Somando
dos dois lados:
Dividindo por 2:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a
.
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