Avalie a integral. integral cotg x ln (sen x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar o método de integração por partes. Basicamente, vamos dividir a integral em duas partes que são mais fáceis de manejar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais partes da nossa integral vão ser integral u , dv = uv - integral v , du e na fórmula da integração por partes. A fórmula é:
Aqui, vamos escolher porque é uma função que ao derivarmos simplifica, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = 1sin x cdot cos x , dx = cot x , dx e v = integral cot x , dx = ln|sin x| + C :
  • Derivando :
  • Integrando :
Como estamos fazendo integração por partes, a constante pode ser ignorada nesse passo.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral cot x ln(sin x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo ln(sin x) cdot ln(sin x) - integral ln(sin x) cdot cot x , dx , integral cot x ln(sin x) , dx = (ln(sin x))^2 - integral cot x ln(sin x) , dx e :
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver para a integral original. Vamos chamar a integral de I = (ln(sin x))^2 - I :
2I = (ln(sin x))^2
Somando I = 12 (ln(sin x))^2 + C dos dois lados:
Dividindo por 2:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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