Avalie a integral. integral0 5 w-1w+2 d w

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para avaliarmos a integral de uma fração algébrica: integral0 5 w -1w +2 , dw. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, e vamos precisar entender como simplificar frações algébricas antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 5w -1w +2. Como o grau do numerador e do denominador são iguais (ambos de primeiro grau), podemos fazer uma divisão polinomial para separar a expressão.

Passo 3

Dividindo 5w -1 por w +2, temos:
5w -1w +2 = 5 + -11w +2
Isso porque 5w dividido por w 5, e ao multiplicar 5 por (w +2), subtraímos de 5w -1 e sobra -11.

Passo 4

Agora, a integral fica mais simples:
integral 5w -1w +2 , dw = integral (5 - 11w +2) , dw
Isso separa a integral em duas partes que são mais fáceis de calcular.

Passo 5

Vamos integrar cada parte separadamente:
integral 5 , dw = 5w + C1
integral -11w +2 , dw = -11 ln|w +2| + C2
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 6

Juntando as duas integrais, obtemos:
5w -11 ln|w +2| + C
Onde C = C1 + C2 é a constante geral de integração.

Resposta

A integral avaliada é:
5w -11 ln|w +2| + C

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