Avalie a integral. integral x cossec x cotg x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que avaliar a integral . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração por partes e manipulação de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como aplicar a integração por partes e simplificar expressões trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar identificando as funções que irão se encaixar na fórmula de integração por partes, que é . Aqui, escolhemos porque sua derivada é simples, e .

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar :
  • Derivada de : .
  • Integração de : Sabemos que .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x csc x cot x , dx = u cdot v - integral v , du = x cdot (-csc x) - integral (-csc x) , dx
Simplificando:
= -x csc x + integral csc x , dx

Passo 5

Agora, precisamos integrar integral csc x , dx = ln |tan x2| + C . A integral de -x csc x + ln |tan x2| + C é conhecida:
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral avaliada é:
integral x csc x cot x , dx = -x csc x + ln | tan x2 | + C

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