Avalie a integral. integral xx^4+x^2+1 d x

Passo 1

Beleza! A gente tem que resolver a integral . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente técnicas de substituição e decomposição em frações parciais. Precisaremos manipular a expressão para simplificar a integral e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador . Para facilitar a integração, vamos tentar fatorar esse polinômio. Notamos que não é facilmente fatorável com números reais, então vamos completar o quadrado ou usar substituição.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Assim, a derivada de em relação a é , o que implica que .

Passo 4

Agora, substituímos na integral original:
integral xx^4+x^2+1 , dx = integral xu^2 + u + 1 cdot du2x = 12 integral 1u^2 + u + 1 , du
Aqui, os termos se cancelam, e a integral agora está em termos de .

Passo 5

Precisamos integrar u^2 + u + 1 = (u^2 + u + 14) + 34 = (u + 12)^2 + 34 . Para facilitar, completamos o quadrado no denominador:

Passo 6

Agora, nossa integral fica:
12 integral 1(u + 12)^2 + (raiz32)^2 , du
Essa forma se parece com a integral padrão .

Passo 7

Aplicando a fórmula da integral padrão, temos:
12 cdot 2raiz3 arctan(2(u + 12)raiz3) + C = 1raiz3 arctan(2u + 1raiz3) + C

Passo 8

Lembrando que 1raiz3 arctan(2x^2 + 1raiz3) + C , substituímos de volta:

Resposta

A integral avaliada é:
1raiz3 arctan(2x^2 + 1raiz3) + C

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