Avalie a integral.

Passo 1

Beleza! A gente tem que resolver a integral . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente técnicas de substituição e decomposição em frações parciais. Precisaremos manipular a expressão para simplificar a integral e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador . Para facilitar a integração, vamos tentar fatorar esse polinômio. Notamos que não é facilmente fatorável com números reais, então vamos completar o quadrado ou usar substituição.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Assim, a derivada de em relação a é , o que implica que .

Passo 4

Agora, substituímos na integral original:
Aqui, os termos se cancelam, e a integral agora está em termos de .

Passo 5

Precisamos integrar . Para facilitar, completamos o quadrado no denominador:

Passo 6

Agora, nossa integral fica:
Essa forma se parece com a integral padrão .

Passo 7

Aplicando a fórmula da integral padrão, temos:

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral avaliada é:

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