Avalie a integral.
Passo 1
Beleza! A gente tem que resolver a integral
. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente técnicas de substituição e decomposição em frações parciais. Precisaremos manipular a expressão para simplificar a integral e facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o denominador
. Para facilitar a integração, vamos tentar fatorar esse polinômio. Notamos que não é facilmente fatorável com números reais, então vamos completar o quadrado ou usar substituição.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Assim, a derivada de
em relação a
é
, o que implica que
.
Passo 4
Agora, substituímos na integral original:
Aqui, os termos
se cancelam, e a integral agora está em termos de
.
Passo 5
Precisamos integrar
. Para facilitar, completamos o quadrado no denominador:
Passo 6
Agora, nossa integral fica:
Essa forma se parece com a integral padrão
.
Passo 7
Aplicando a fórmula da integral padrão, temos:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral avaliada é:
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