Avalie a integral definida:
integral-pi / 4^pi / 4(x^3+x^4 tan x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver a integral definida de . Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre funções pares e ímpares, para resolver isso. Precisamos entender como essas propriedades das funções ajudam a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função dentro da integral separadamente: e .

Passo 3

Vamos verificar se cada função é par ou ímpar. Uma função é par se e ímpar se .

Passo 4

Para f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x) :
Então, é uma função ímpar.

Passo 5

Para f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x) :
Primeiro, sabemos que tan(-x) = -tan x = -f(x) é par porque:
f(-x) = f(x) cdot (-f(x)) = -f(x)
E é ímpar porque:
Multiplicando uma função par por uma ímpar:
Portanto, também é uma função ímpar.

Passo 6

Sabemos que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em relação a zero ( integral-a^a f(x) dx = 0 ) é zero:
Como ambas as partes da nossa função são ímpares e o intervalo é simétrico ( a ), a integral total será zero.

Resposta

O valor da integral é 0.

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