Represente as seguintes funções em séries de potências de :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para representarmos a função como uma série de potências em . Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de potências e série de Taylor para funções exponenciais. Vamos precisar lembrar como expandir a função exponencial em série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a expansão em série. Podemos separar o expoente:
Isso funciona porque .

Passo 3

Agora, vamos lembrar da série de potências para a função exponencial. A série de Taylor para ao redor de 0 é:
Essa série soma todos os termos para começando de 0 até o infinito.

Passo 4

Como temos na nossa função, vamos substituir por na série de :
Isso nos dá a série de potências para .

Passo 5

Finalmente, vamos multiplicar essa série por para obter a série de potências para :

Resposta

A representação em série de potências de é:

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Represente as seguintes funções em séries de potências de :
Dados
e
determinar:
Avalie a integral definida:
.