Represente as seguintes funções em séries de potências de
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para representarmos a função
como uma série de potências em
. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de potências e série de Taylor para funções exponenciais. Vamos precisar lembrar como expandir a função exponencial em série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a expansão em série. Podemos separar o expoente:
Isso funciona porque
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da série de potências para a função exponencial. A série de Taylor para
ao redor de 0 é:
Essa série soma todos os termos
para
começando de 0 até o infinito.
Passo 4
Como temos
na nossa função, vamos substituir
por
na série de
:
Isso nos dá a série de potências para
.
Passo 5
Finalmente, vamos multiplicar essa série por
para obter a série de potências para
:
Resposta
A representação em série de potências de
é:
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Represente as seguintes funções em séries de potências de
:
Dados
e
e
determinar:
Avalie a integral definida:
.