Avalie a integral definida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a integral definida . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente sobre funções pares e ímpares. Para resolver, vamos precisar entender como essas propriedades das funções influenciam o valor da integral em intervalos simétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função
é par se
para todo
, e ímpar se
. Além disso, sabemos que:
- A integral de uma função par em um intervalo simétrico
é duas vezes a integral de de a . - A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico
é zero.
Passo 3
No nosso caso, temos . Vamos analisar se essa função é par ou ímpar.
-
é uma função par, porque . - é uma função ímpar, porque .
Quando multiplicamos uma função par por uma ímpar, o resultado é uma função ímpar. Então, é uma função ímpar.
Passo 4
Sabendo que
é ímpar e que estamos integrando em um intervalo simétrico
, podemos aplicar a propriedade das funções ímpares:
Portanto, substituindo
:
Resposta
A integral é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule a integral indefinida.
Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto
indicado:
, em
.
Derive:
.
Calcule
.
b)
b)