Derive:
y=sen x^3.

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede: precisamos encontrar a derivada da função y=sen x^3. Essa função envolve o seno, que é uma função trigonométrica, e também uma composição com a função x^3. Vamos usar a regra da cadeia para isso, que é uma técnica em cálculo diferencial para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Se temos uma função composta, como y = f(g(x)), onde f e g são funções, a derivada dessa função é dada por:
dydx = f'(g(x)) cdot g'(x)
Então, a ideia é fazer duas derivadas: primeiro a do seno e depois a da função x^3.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na nossa função.
  1. A função externa f(u) = sen(u), onde u = x^3. A derivada do seno é cos(u). Portanto:
    f'(u) = cos(x^3)
  2. A função interna é g(x) = x^3. A derivada de x^3 é:
    g'(x) = 3x^2

Passo 4

Agora, juntando tudo, pela regra da cadeia, obtemos:
dydx = f'(g(x)) cdot g'(x) = cos(x^3) cdot 3x^2
Assim, a derivada da função y=sen x^3 é:
dydx = 3x^2 cos(x^3)

Resposta

A derivada de y=sen x^3 é dydx = 3x^2 cos(x^3).

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Calcule f^prime(x).
b) f(x)=x^3+x^2+1
Derive:
y=sec 3 x.