Calcule a integral indefinida.
integral(3 t+2)^2,4 d t

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral indefinida de (3t + 2)^2,4 , dt. Isso significa que queremos encontrar uma função cuja derivada seja (3t + 2)^2,4. Para resolver isso, vamos usar o método da substituição, que é uma técnica comum em cálculo para simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integração. Vamos deixar u = 3t + 2. Isso simplifica a expressão dentro do parêntese.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a t para substituir dt. Então, derivando ambos os lados:
dudt = 3 Rightarrow dt = du3

Passo 4

Vamos substituir u e dt na integral original. Ficamos com:
integral (u)^2,4 cdot du3 = 13 integral u^2,4 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^2,4 em relação a u. Lembrando da regra de integração para potenciação:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Onde n = 2,4. Então:
integral u^2,4 , du = u^3,43,4 + C

Passo 6

Voltando à nossa integral original:
13 cdot u^3,43,4 + C = u^3,410,2 + C

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta por 3t + 2:
(3t + 2)^3,410,2 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral (3t + 2)^2,4 , dt = (3t + 2)^3,410,2 + C

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Avalie a integral definida.
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Derive:
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