Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto
indicado:
, em
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva dada pela equação
no ponto
. O conteúdo que vamos usar aqui é de derivadas implícitas, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um determinado ponto de uma função que não está necessariamente escrita como
.
Passo 2
A primeira coisa que vamos fazer é derivar implicitamente a equação da curva. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como uma função de
. Lembrando que quando derivamos
, precisamos aplicar a regra da cadeia. Então, vamos derivar a equação:
Para a primeira parte, usamos a regra do produto, que é
. Assim, a derivada de
vai ficar:
. E a derivada de
vai ficar:
. Então, a equação completa fica:
Passo 3
Agora, vamos juntar os termos que têm
:
Colocando
em evidência:
Agora, isolando
:
Passo 4
Agora precisamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
. Para isso, vamos substituir
e
na nossa fórmula de
:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é
.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta, que é
, onde
é o ponto e
é a inclinação. Substituindo:
Simplificando isso:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é
.
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Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a substituição de variável adequada:
Calcule
3)
3)
Calcule a integral indefinida.
Avalie a integral definida.