Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto p indicado:
x y+y^2=2, em p=(1,1).

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva dada pela equação x y + y^2 = 2 no ponto p = (1, 1). O conteúdo que vamos usar aqui é de derivadas implícitas, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um determinado ponto de uma função que não está necessariamente escrita como y = f(x).

Passo 2

A primeira coisa que vamos fazer é derivar implicitamente a equação da curva. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como uma função de x. Lembrando que quando derivamos y, precisamos aplicar a regra da cadeia. Então, vamos derivar a equação:
ddx(x y) + ddx(y^2) = ddx(2)
Para a primeira parte, usamos a regra do produto, que é u'v + uv'. Assim, a derivada de x y vai ficar: y + x dydx. E a derivada de y^2 vai ficar: 2y dydx. Então, a equação completa fica:
y + x dydx + 2y dydx = 0

Passo 3

Agora, vamos juntar os termos que têm dydx:
x dydx + 2y dydx = -y
Colocando dydx em evidência:
dydx (x + 2y) = -y
Agora, isolando dydx:
dydx = -yx + 2y

Passo 4

Agora precisamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto p = (1, 1). Para isso, vamos substituir x = 1 e y = 1 na nossa fórmula de dydx:
dydx = -11 + 2 cdot 1 = -13
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é -13.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e o ponto p = (1, 1), podemos usar a fórmula da equação da reta, que é y - y0 = m(x - x0), onde (x0, y0) é o ponto e m é a inclinação. Substituindo:
y - 1 = -13(x - 1)
Simplificando isso:
y - 1 = -13x + 13,
y = -13x + 13 + 1,
y = -13x + 43

Resposta

A equação da reta tangente à curva x y + y^2 = 2 no ponto p = (1, 1) é y = -13x + 43.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a substituição de variável adequada: integral 1raiz1-x^2 d x
Calcule
3) integral-3^4 raiz[3]5-x d x
Calcule a integral indefinida.
integral(3 t+2)^2,4 d t
Avalie a integral definida.
integral-pi / 3^pi / 3 x^4 sen x d x