Avalie a integral definida.
integral0^1(t+1) raiz2 t+t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral definida:
integral0^1(t+1) raiz2 t + t^2 , dt
Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente integrando funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral para que possamos calcular mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da raiz para ver se dá para simplificar:
2t + t^2 = t^2 + 2t
Isso pode ser reescrito completando o quadrado:
t^2 + 2t = (t + 1)^2 - 1
Então, a raiz fica assim:
raiz2t + t^2 = raiz(t + 1)^2 - 1
Isso ajuda a identificar uma substituição mais fácil para resolver a integral.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = t + 1
Então, a derivada de du = dt em relação a integral1^2 u cdot raizu^2 - 1 , du é:
Também precisamos mudar os limites de integração conforme essa substituição:
  • Quando ,
  • Quando ,
Agora, substituindo por na integral original, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a nova integral:
integral1^2 u cdot raizu^2 - 1 , du
Para resolver isso, usamos outra substituição. Vamos definir:
v = u^2 - 1
Então, a derivada de dv = 2u , du Rightarrow u , du = dv2 em relação a integral raizv cdot dv2 = 12 integral v^1/2 , dv é:
12 cdot 23 v^3/2 = 13 v^3/2
Substituindo na integral:
13 (u^2 - 1)^3/2
Agora, integrando :
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, precisamos voltar aos limites de integração em termos de 13 (u^2 - 1)^3/2 |1^2 :
  • Quando 13 (2^2 - 1)^3/2 = 13 (4 - 1)^3/2 = 13 cdot 3^3/2 = 13 cdot 3 raiz3 = raiz3 , 13 (1^2 - 1)^3/2 = 13 (0)^3/2 = 0
  • Quando ,
Então, avaliamos a antiderivada entre 1 e 2:
Calculando para :
Calculando para :

Resposta

Portanto, o valor da integral definida é:
raiz3

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