Avalie a integral definida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral definida:
Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente integrando funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral para que possamos calcular mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da raiz para ver se dá para simplificar:
Isso pode ser reescrito completando o quadrado:
Então, a raiz fica assim:
Isso ajuda a identificar uma substituição mais fácil para resolver a integral.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Também precisamos mudar os limites de integração conforme essa substituição:
  • Quando ,
  • Quando ,
Agora, substituindo por na integral original, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a nova integral:
Para resolver isso, usamos outra substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:
Agora, integrando :
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, precisamos voltar aos limites de integração em termos de :
  • Quando ,
  • Quando ,
Então, avaliamos a antiderivada entre 1 e 2:
Calculando para :
Calculando para :

Resposta

Portanto, o valor da integral definida é:

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