Calcule a integral indefinida.
integral e^x(1-e^x)^2 d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral indefinida . Isso tá dentro da área de cálculo integral, mais especificamente envolvendo integrais que usam substituição simples. A gente vai precisar usar uma substituição para simplificar a expressão e facilitar a resolução.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para deixar a integral mais simples. Vamos chamar . Isso ajuda a transformar a expressão no denominador.

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = -e^x implies du = -e^x dx em relação a para encontrar :
Isso significa que .

Passo 4

Substituindo integral e^x(1 - e^x)^2 dx = integral -duu^2 = -integral u^-2 du e na integral original, temos:
Aqui, a gente reescreveu a integral em termos de , o que ficou mais simples.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral -integral u^-2 du = -( u^-1-1 ) + C = 1u + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos 1u + C = 11 - e^x + C de volta para termos em :

Resposta

A integral indefinida é .

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