Calcule a integral
integral t sen 2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com uma integral que envolve o produto de uma função polinomial ( ) e uma função trigonométrica (). Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Nessa fórmula, precisamos identificar qual parte da nossa integral será e qual será .

Passo 3

Vamos escolher:
u = t Rightarrow du = dt
e
Para encontrar dv = sen(2t) , dt Rightarrow v = -12 cos(2t) , integramos .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
integral t sen(2t) , dt = u , v - integral v , du = t (-12 cos(2t)) - integral (-12 cos(2t)) dt

Passo 5

Agora, precisamos calcular integral cos(2t) , dt = 12 sen(2t) . A integral de é , então:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:

Resposta

Portanto, a integral é:
onde integral t sen(2t) , dt = -t2 cos(2t) + 14 sen(2t) + C é a constante de integração.

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