Avalie integral duplaR 1x+y d A na região R quadrada onde
1 <= x <= 2 e 1 <= x <= 2 Diva Calculo B p7.6.1e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral dupla integral duplaR 1x+y , dA na região R, que é um quadrado onde 1 <= x <= 2 e 1 <= y <= 2. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões retangulares. Vamos precisar configurar a integral de forma iterada e usar técnicas de integração, como integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como duas integrais iteradas. Já que a região R é um quadrado com x indo de 1 a 2 e y indo de 1 a 2, podemos expressar a integral assim:
integral1^2 integral1^2 1x + y , dy , dx

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a y. A integral de 1x + y em relação a y é:
integral 1x + y , dy = ln|x + y| + C
Aplicando os limites de 1 a 2:
ln(x + 2) - ln(x + 1) = ln(x + 2x + 1)
Então, nossa integral agora fica:
integral1^2 ln(x + 2x + 1) , dx

Passo 4

Agora, precisamos calcular essa integral em relação a x. Podemos simplificar o logaritmo:
ln(x + 2x + 1) = ln(x + 2) - ln(x + 1)
Então, a integral fica:
integral1^2 ln(x + 2) , dx - integral1^2 ln(x + 1) , dx

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente usando integração por partes.
Primeira Integral:
integral ln(x + 2) , dx
Usando integração por partes onde:
  • u = ln(x + 2), então du = 1x + 2 , dx
  • dv = dx, então v = x
Aplicando:
x ln(x + 2) - integral xx + 2 , dx
Simplificando xx + 2:
xx + 2 = 1 - 2x + 2
Então:
x ln(x + 2) - integral (1 - 2x + 2) dx = x ln(x + 2) - x + 2 ln(x + 2) + C
Avaliando de 1 a 2:
[4 ln 4 - 2] - [3 ln 3 - 1] = 4 ln 4 - 3 ln 3 -1
Segunda Integral:
integral ln(x + 1) , dx
Usando integração por partes onde:
  • u = ln(x + 1), então du = 1x + 1 , dx
  • dv = dx, então v = x
Aplicando:
x ln(x + 1) - integral xx + 1 , dx
Simplificando xx + 1:
xx + 1 = 1 - 1x + 1
Então:
x ln(x + 1) - x + ln(x + 1) + C = (x + 1)ln(x + 1) - x + C
Avaliando de 1 a 2:
[3 ln 3 - 2] - [2 ln 2 - 1] = 3 ln 3 - 2 ln 2 -1

Passo 6

Agora, juntando as duas integrais:
(4 ln 4 - 3 ln 3 -1) - (3 ln 3 - 2 ln 2 -1) = 4 ln 4 -6 ln 3 + 2 ln 2
Simplificando mais:
Sabemos que 4 ln 4 = 8 ln 2, então:
8 ln 2 -6 ln 3 + 2 ln 2 = 10 ln 2 -6 ln 3

Resposta

A integral dupla vale 10 ln 2 - 6 ln 3.

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