Avalie
na região
quadrada onde
e
Diva Calculo B p7.6.1e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral dupla
na região
, que é um quadrado onde
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões retangulares. Vamos precisar configurar a integral de forma iterada e usar técnicas de integração, como integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla como duas integrais iteradas. Já que a região
é um quadrado com
indo de 1 a 2 e
indo de 1 a 2, podemos expressar a integral assim:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Então, nossa integral agora fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular essa integral em relação a
. Podemos simplificar o logaritmo:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente usando integração por partes.
Primeira Integral:
Usando integração por partes onde:
-
, então -
, então
Aplicando:
Simplificando
:
Então:
Avaliando de 1 a 2:
Segunda Integral:
Usando integração por partes onde:
-
, então -
, então
Aplicando:
Simplificando
:
Então:
Avaliando de 1 a 2:
Passo 6
Agora, juntando as duas integrais:
Simplificando mais:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral dupla vale
.