Avalie integral0^ln 2 integral0^raiz(ln 2)^2-y^2 e^raizx^2+y^2 d x d y
Thomas 12ed 15.4.19

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente calcular a integral dupla de onde varia de 0 a e varia de 0 a . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas, e vamos precisar usar coordenadas polares pra facilitar essa resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r costheta e y = r sintheta
Além disso, o elemento de área se transforma em . E a expressão simplifica para apenas . Essa mudança facilita porque a função que estamos integrando fica mais simples.

Passo 3

Agora, vamos identificar os novos limites de integração em coordenadas polares. A região de integração original é um quarto de círculo com raio integral0^pi2 integral0^ln 2 e^r cdot r , dr , dtheta no primeiro quadrante. Assim, varia de 0 a e varia de 0 a . Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^ln 2 r e^r , dr
Para isso, usamos a integração por partes onde:
u = r Rightarrow du = dr
dv = e^r dr Rightarrow v = e^r
Aplicando a fórmula de integração por partes integral r e^r , dr = r e^r - integral e^r , dr = r e^r - e^r + C , temos:
[ r e^r - e^r ]0^ln 2 = (ln 2 cdot e^ln 2 - e^ln 2) - (0 cdot e^0 - e^0) = (ln 2 cdot 2 - 2) - (0 - 1) = 2 ln 2 - 2 + 1 = 2 ln 2 - 1
Agora, avaliando de 0 a integral0^pi2 (2 ln 2 - 1) , dtheta = (2 ln 2 - 1) cdot pi2 = pi ln 2 - pi2 :
Agora, vamos integrar em relação a :

Resposta

pi ln 2 - pi2

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