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Thomas 12ed 15.4.19
Thomas 12ed 15.4.19
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente calcular a integral dupla de
onde
varia de 0 a
e
varia de 0 a
. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas, e vamos precisar usar coordenadas polares pra facilitar essa resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área
se transforma em
. E a expressão
simplifica para apenas
. Essa mudança facilita porque a função que estamos integrando fica mais simples.
Passo 3
Agora, vamos identificar os novos limites de integração em coordenadas polares. A região de integração original é um quarto de círculo com raio
no primeiro quadrante. Assim,
varia de 0 a
e
varia de 0 a
. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Para isso, usamos a integração por partes onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes
, temos:
Agora, avaliando de 0 a
:
Agora, vamos integrar em relação a
: