Calcular
, onde
e
é o retângulo
Diva Calculo B p7.6.1b
Diva Calculo B p7.6.1b
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é o retângulo definido por
e
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais duplas, onde a gente integra uma função de duas variáveis sobre uma determinada região.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla que queremos calcular:
Como a região
é um retângulo onde
varia de 2 a 3 e
varia de 1 a 2, podemos expressar a integral como uma integral iterada. Geralmente, escolhemos integrar em uma ordem conveniente; aqui, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Vamos montar a integral iterada:
Note que
é tratado como uma constante em relação a
, já que estamos integrando com respeito a
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos tirá-la da integral:
A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Portanto, a integral interna fica:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos fatorar o 1,5:
Passo 6
Vamos resolver a integral
. Usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
A fórmula de integração por partes é:
Aplicando:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 2 a 3:
Simplificando:
Passo 8
Multiplicamos pelo fator que tínhamos fora da integral:
Resposta
A integral dupla vale
.