Calcular integral duplaR f(x, y) d x d y, onde f(x, y)= y ln x e undersetRR é o retângulo R = (x, y) mid 2 <= x <= 3,1 <= y <= 2
Diva Calculo B p7.6.1b

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é o retângulo definido por e . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais duplas, onde a gente integra uma função de duas variáveis sobre uma determinada região.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla que queremos calcular:
integral duplaR y ln x , dx , dy
Como a região é um retângulo onde varia de 2 a 3 e varia de 1 a 2, podemos expressar a integral como uma integral iterada. Geralmente, escolhemos integrar em uma ordem conveniente; aqui, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos montar a integral iterada:
integralx=2^3 ( integraly=1^2 y ln x , dy ) dx
Note que é tratado como uma constante em relação a , já que estamos integrando com respeito a .

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral1^2 y ln x , dy :
ln x integral1^2 y , dy
Como integral y , dy = 12 y^2 + C é constante em relação a 12 (2)^2 - 12 (1)^2 = 12 (4) - 12 (1) = 2 - 0,5 = 1,5 , podemos tirá-la da integral:
ln x times 1,5 = 1,5 ln x
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Portanto, a integral interna fica:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral2^3 1,5 ln x , dx
Podemos fatorar o 1,5:
1,5 integral2^3 ln x , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral u = ln x Rightarrow du = 1x dx . Usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
dv = dx Rightarrow v = x
integral u , dv = uv - integral v , du
A fórmula de integração por partes é:
integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x dx = x ln x - integral 1 , dx = x ln x - x + C
Aplicando:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 2 a 3:
[ x ln x - x ]2^3 = (3 ln 3 - 3) - (2 ln 2 - 2) = 3 ln 3 - 3 - 2 ln 2 + 2
Simplificando:
3 ln 3 - 2 ln 2 - 1

Passo 8

Multiplicamos pelo fator que tínhamos fora da integral:
1,5 times (3 ln 3 - 2 ln 2 - 1) = 4,5 ln 3 - 3 ln 2 - 1,5

Resposta

A integral dupla vale .

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