Avalie integral-1^0 integralraiz1-x^2^0 11+raizx^2+y^2 d x d y
Thomas 12ed 15.4.17

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral dupla
integral-1^0 integralraiz1 - x^2^0 11 + raizx^2 + y^2 , dx , dy
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, onde vamos integrar uma função sobre uma região no plano . Para resolver isso, vamos precisar entender a região de integração e possivelmente trocar para coordenadas polares, já que a função envolve , que sugere simetria radial.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O limite externo é de a e o limite interno é de a . Parece que há um pequeno erro nos limites, já que não pode ser definido em termos de si mesmo dessa forma. Talvez o correto seja de a . Vamos supor que a região seja o quarto de um círculo de raio 1, onde e .

Passo 3

Com essa região em mente, trocar para coordenadas polares pode simplificar a integral. Nas coordenadas polares, temos:
x = r costheta y = r sintheta raizx^2 + y^2 = r dA = r , dr , dtheta
Isso transforma nossa integral para:
integraltheta1^theta2 integral0^R 11 + r cdot r , dr , dtheta
Onde e são os limites angulares da região, e é o raio máximo (no caso, 1).

Passo 4

Determinar os limites de theta1 = pi theta2 = 3pi2 R = 1 e integralpi^3pi2 integral0^1 r1 + r , dr , dtheta . Como estamos no quarto inferior esquerdo do círculo:
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a parte da integral em integral0^1 r1 + r , dr primeiro:
integral1^2 u - 1u , du = integral1^2 (1 - 1u) du = [u - ln|u|]1^2 = (2 - ln 2) - (1 - ln 1) = 1 - ln 2
Podemos fazer uma substituição simples. Seja , então e quando , ; quando , . A integral fica:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado na integral em integralpi^3pi2 (1 - ln 2) , dtheta = (1 - ln 2) cdot (3pi2 - pi) = (1 - ln 2) cdot pi2 :

Resposta

A integral dupla vale .

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