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Thomas 12ed 15.4.17
Thomas 12ed 15.4.17
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral dupla
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, onde vamos integrar uma função sobre uma região no plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender a região de integração e possivelmente trocar para coordenadas polares, já que a função envolve
, que sugere simetria radial.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O limite externo é
de
a
e o limite interno é
de
a
. Parece que há um pequeno erro nos limites, já que
não pode ser definido em termos de si mesmo dessa forma. Talvez o correto seja
de
a
. Vamos supor que a região seja o quarto de um círculo de raio 1, onde
e
.
Passo 3
Com essa região em mente, trocar para coordenadas polares pode simplificar a integral. Nas coordenadas polares, temos:
Isso transforma nossa integral para:
Onde
e
são os limites angulares da região, e
é o raio máximo (no caso, 1).
Passo 4
Determinar os limites de
e
. Como estamos no quarto inferior esquerdo do círculo:
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a parte da integral em
primeiro:
Podemos fazer uma substituição simples. Seja
, então
e quando
,
; quando
,
. A integral fica:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado na integral em
:
Resposta
A integral dupla vale
.