Avalie integral duplaR y^2x^2+y^2 d A onde R é a região entre os círculos x^2+y^2=a^2 e x^2+y^2=b^2, com 0
Steward 7ed p15.4.10

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que avaliar a integral dupla , onde é a região entre dois círculos definidos por e , com .
Conteúdo da matéria: Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares, que são super úteis quando estamos lidando com regiões circulares. Também vamos precisar lembrar como transformar uma integral dupla de coordenadas cartesianas para polares.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a integral para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
  • y^2x^2+y^2 = (r sintheta)^2r^2 = sin^2theta
  • integral duplaR y^2x^2+y^2 , dA = integral0^2pi integrala^b sin^2theta cdot r , dr , dtheta
  • (este é o elemento de área em coordenadas polares)
Substituindo na função que vamos integrar:
Então, a integral dupla fica:
Explicação: Aqui, varia de a (os raios dos círculos) e varia de a para cobrir toda a volta do círculo.

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral em integrala^b r , dr primeiro. A parte que depende de integrala^b r , dr = [ r^22 ]a^b = b^22 - a^22 = b^2 - a^22 é:
b^2 - a^22 integral0^2pi sin^2theta , dtheta
Integrando isso:
Então, a integral dupla agora fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral em integral0^2pi sin^2theta , dtheta :
integral0^2pi sin^2theta , dtheta = pi
Sabemos que:
integral0^2pi sin^2theta , dtheta = 12 cdot 2pi = pi
Por quê? Porque a média de no intervalo de a é , e então:

Resposta

Juntando tudo, a integral dupla avaliada é:
pi ( b^2 - a^22 ) = pi (b^2 - a^2)2

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