Avalie
onde
é a região entre os círculos
e
, com
Steward 7ed p15.4.10
Steward 7ed p15.4.10
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que avaliar a integral dupla
, onde
é a região entre dois círculos definidos por
e
, com
.
Conteúdo da matéria: Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares, que são super úteis quando estamos lidando com regiões circulares. Também vamos precisar lembrar como transformar uma integral dupla de coordenadas cartesianas para polares.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a integral para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
-
-
-
(este é o elemento de área em coordenadas polares)
Substituindo na função que vamos integrar:
Então, a integral dupla fica:
Explicação: Aqui,
varia de
a
(os raios dos círculos) e
varia de
a
para cobrir toda a volta do círculo.
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral em
primeiro. A parte que depende de
é:
Integrando isso:
Então, a integral dupla agora fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral em
:
Sabemos que:
Por quê? Porque a média de
no intervalo de
a
é
, e então:
Resposta
Juntando tudo, a integral dupla avaliada é: