Calcule o volume de parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 que está entre os planos z = 0 e z = 2 Diva Calculo B p7.10.13

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente calcular o volume de uma parte da esfera dada pela equação . Essa parte específica está entre os planos e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrando em coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando estamos lidando com formas simétricas como esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a esfera se comporta nas coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Substituindo esses valores na equação da esfera, fica:
Isso nos mostra a relação entre e na esfera.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o volume entre e . Vamos determinar os limites de integração para cada variável:
  • varia de a porque estamos cobrindo toda a volta ao redor do eixo .
  • Para um valor específico de , o raio vai de até (obtido rearranjando a equação da esfera).
  • varia de a , conforme o enunciado.

Passo 4

Com esses limites, montamos o integral triplo em coordenadas cilíndricas para calcular o volume:
Aqui, o dentro do integral vem do termo de Jacobiano ao mudar para coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Vamos resolver o integral mais interno primeiro, que é em relação a :
Isso simplifica nosso integral para:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Agora, falta integrar em relação a :

Resposta

O volume da parte da esfera entre os planos e é unidades cúbicas.

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