Calcule o volume de parte da esfera
que está entre os planos
e
Diva Calculo B p7.10.13
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente calcular o volume de uma parte da esfera dada pela equação
. Essa parte específica está entre os planos
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrando em coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando estamos lidando com formas simétricas como esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a esfera se comporta nas coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Substituindo esses valores na equação da esfera, fica:
Isso nos mostra a relação entre
e
na esfera.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o volume entre
e
. Vamos determinar os limites de integração para cada variável:
-
varia de a porque estamos cobrindo toda a volta ao redor do eixo . - Para um valor específico de
, o raio vai de até (obtido rearranjando a equação da esfera). -
varia de a , conforme o enunciado.
Passo 4
Com esses limites, montamos o integral triplo em coordenadas cilíndricas para calcular o volume:
Aqui, o
dentro do integral vem do termo de Jacobiano ao mudar para coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Vamos resolver o integral mais interno primeiro, que é em relação a
:
Isso simplifica nosso integral para:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Agora, falta integrar em relação a
:
Resposta
O volume da parte da esfera entre os planos
e
é
unidades cúbicas.