Calcule o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies z = 1 - x^2, z = 0, x + y = 4 y = 0
Diva Calculo B p7.10.3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o volume de um sólido que é delimitado por algumas superfícies:
  • (essa é uma parábola invertida no eixo z)
  • (o plano xy)
  • (uma reta no plano xy)
  • (o eixo x)
Vamos usar o cálculo de integrais múltiplas para encontrar esse volume. Precisamos configurar os limites de integração para , e com base nessas superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar os limites para e no plano xy. A reta é o eixo x, e pode ser reescrita como .
Então, para , ele varia de 0 a .
Agora, para encontrar os limites de , observamos onde as duas retas se encontram:
Quando , . Então, varia de 0 a 4.

Passo 3

Agora, vamos considerar o limite para . O sólido está entre (plano xy) e .
Então, para :

Passo 4

Agora que temos os limites de integração, vamos configurar a integral tripla para calcular o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Como não depende de , a próxima integração é em relação a :
Agora, temos:
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Substituindo :
Como volume não pode ser negativo, provavelmente houve um erro de cálculo na expansão ou integra��ão. Vamos revisar rapidamente.
Na verdade, ao expandir :
E a integral:
Substituindo :
Parece estranho, mas o erro está no limite de . Na verdade, não deve ir até 4 porque se torna negativa quando . Então, devemos ajustar os limites de para onde , ou seja, . Como estamos considerando , então .
Refazendo com de 0 a 1:

Resposta

O volume do sólido é aproximadamente unidades cúbicas.

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