Calcule o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies
Diva Calculo B p7.10.3
Diva Calculo B p7.10.3
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular o volume de um sólido que é delimitado por algumas superfícies:
-
(essa é uma parábola invertida no eixo z) -
(o plano xy) -
(uma reta no plano xy) -
(o eixo x)
Vamos usar o cálculo de integrais múltiplas para encontrar esse volume. Precisamos configurar os limites de integração para
,
e
com base nessas superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar os limites para
e
no plano xy. A reta
é o eixo x, e
pode ser reescrita como
.
Então, para
, ele varia de 0 a
.
Agora, para encontrar os limites de
, observamos onde as duas retas se encontram:
Quando
,
. Então,
varia de 0 a 4.
Passo 3
Agora, vamos considerar o limite para
. O sólido está entre
(plano xy) e
.
Então, para
:
Passo 4
Agora que temos os limites de integração, vamos configurar a integral tripla para calcular o volume
:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Como
não depende de
, a próxima integração é em relação a
:
Agora, temos:
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Substituindo
:
Como volume não pode ser negativo, provavelmente houve um erro de cálculo na expansão ou integra��ão. Vamos revisar rapidamente.
Na verdade, ao expandir
:
E a integral:
Substituindo
:
Parece estranho, mas o erro está no limite de
. Na verdade,
não deve ir até 4 porque
se torna negativa quando
. Então, devemos ajustar os limites de
para onde
, ou seja,
. Como estamos considerando
, então
.
Refazendo com
de 0 a 1:
Resposta
O volume do sólido é aproximadamente
unidades cúbicas.