Avalie integral duplaR arctan (y / x) d A onde R=(x, y) mid 1 <= x^2+y^2 <= 4,0 <= y <= x
Steward 7ed p15.4.13

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral duplaR arctan ( yx ) dA, onde a região R é definida por 1 <= x^2+y^2 <= 4 e 0 <= y <= x. Isso está ligado ao cálculo de integrais em coordenadas polares, que é um método super útil quando a região de integração tem simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta). Sabemos que:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • x^2 + y^2 = r^2
  • dA = r , dr , dtheta
Além disso, arctan ( yx ) em coordenadas polares é simplesmente theta. Então, nossa integral fica mais simples:
integral duplaR theta cdot r , dr , dtheta

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração para r e theta. A condição 1 <= x^2+y^2 <= 4 se traduz para 1 <= r^2 <= 4, ou seja, 1 <= r <= 2. Para theta, a condição 0 <= y <= x significa que 0 <= theta <= pi4, já que y = x corresponde a theta = pi4.

Passo 4

Com os limites estabelecidos, a integral se transforma em:
integralr=1^2 integraltheta=0^pi4 theta cdot r , dtheta , dr
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é a em relação a theta.

Passo 5

Integrando theta cdot r em relação a theta:
integral0^pi4 theta cdot r , dtheta = r cdot [ theta^22 ]0^pi4 = r cdot ( ( pi4 )^22 ) = r cdot pi^232

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
pi^232 integral1^2 r , dr
Integrando r em relação a r:
pi^232 cdot [ r^22 ]1^2 = pi^232 cdot ( 42 - 12 ) = pi^232 cdot 32 = 3pi^264

Resposta

A integral vale 3pi^264.

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