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onde
Steward 7ed p15.4.13
Steward 7ed p15.4.13
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
, onde a região
é definida por
e
. Isso está ligado ao cálculo de integrais em coordenadas polares, que é um método super útil quando a região de integração tem simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
. Sabemos que:
Além disso,
em coordenadas polares é simplesmente
. Então, nossa integral fica mais simples:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração para
e
. A condição
se traduz para
, ou seja,
. Para
, a condição
significa que
, já que
corresponde a
.
Passo 4
Com os limites estabelecidos, a integral se transforma em:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é a em relação a
.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Integrando
em relação a
:
Resposta
A integral vale
.