Calcular a área da região delimitada pelas curvas
e
Diva Calculo B p7.10.20
Diva Calculo B p7.10.20
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Precisamos calcular a área da região que está delimitada por três curvas:
,
e
. Para isso, vamos usar integrais, que fazem parte do conteúdo de cálculo integral. O primeiro passo é identificar onde essas curvas se encontram para saber os limites de integração.
Passo 2
Vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas
e
. Para isso, substituímos
na segunda equação pela expressão da primeira:
Isso nos leva à equação:
Testando valores simples, vemos que
satisfaz a equação:
Então,
é um ponto de interseção. Agora, para encontrar o valor de
correspondente:
Portanto, as curvas se interceptam no ponto
.
Além disso, a curva
e
se interceptam quando
. E a interseção de
com
ocorre em
. Então, os limites de integração serão de
a
.
Passo 3
Vamos dividir a área em duas partes para facilitar o cálculo:
- De
a : Aqui, a curva superior é e a inferior é . - De
a : Aqui, a curva superior é e a inferior continua sendo .
Agora, vamos calcular cada área separadamente usando integrais.
Passo 4
Primeira parte da área (de
a
):
Integrando:
Passo 5
Segunda parte da área (de
a
):
Integrando:
Resposta
Somando as duas áreas:
Então, a área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.