Calcular a área da região delimitada pelas curvas y = x^3, x + y = 2 e y = 0
Diva Calculo B p7.10.20

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Precisamos calcular a área da região que está delimitada por três curvas: , e . Para isso, vamos usar integrais, que fazem parte do conteúdo de cálculo integral. O primeiro passo é identificar onde essas curvas se encontram para saber os limites de integração.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas e . Para isso, substituímos na segunda equação pela expressão da primeira:
Isso nos leva à equação:
Testando valores simples, vemos que satisfaz a equação:
Então, é um ponto de interseção. Agora, para encontrar o valor de correspondente:
Portanto, as curvas se interceptam no ponto .
Além disso, a curva e se interceptam quando . E a interseção de com ocorre em . Então, os limites de integração serão de a .

Passo 3

Vamos dividir a área em duas partes para facilitar o cálculo:
  1. De a : Aqui, a curva superior é e a inferior é .
  2. De a : Aqui, a curva superior é e a inferior continua sendo .
Agora, vamos calcular cada área separadamente usando integrais.

Passo 4

Primeira parte da área (de a ):
Á
Integrando:
Á

Passo 5

Segunda parte da área (de a ):
Á
Integrando:
Á

Resposta

Somando as duas áreas:
Á
Então, a área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

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