Calcule o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies z = 16 - 2 x^2 - y^2, z = x^2 + 2 y^2 Diva Calculo B p7.10.8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a região onde essas duas superfícies se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar a curva de interseção:
Isso representa um círculo no plano com raio .

Passo 4

Para calcular o volume entre as duas superfícies, podemos usar coordenadas polares, onde e . O volume é dado por:
Aqui, e .

Passo 5

Simplificando a diferença :
Isso ocorre porque .

Passo 6

Agora, configuramos a integral para o volume:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em :
Substituindo :

Passo 8

Agora, substituímos na integral externa em :

Resposta

O volume dos sólidos delimitados pelas superfícies é unidades cúbicas.

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