Avalie a integral. integral0^1 / 2 arccos x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida de arccos x de 0 a 12. Esse problema está na área de Cálculo, especificamente em integração. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é integral u , dv = uv - integral v , du. Precisamos escolher o que será u e o que será dv.

Passo 3

Vamos definir u = arccos x. Assim, para encontrar du, derivamos u em relação a x. A derivada de arccos x é du = -1raiz1 - x^2 dx.

Passo 4

Agora, definimos dv = dx. Integrando dv, obtemos v = x.

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral arccos x , dx = x cdot arccos x - integral x cdot (-1raiz1 - x^2) dx
Simplificando:
x cdot arccos x + integral xraiz1 - x^2 dx

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral integral xraiz1 - x^2 dx. Fazendo a substituição u = 1 - x^2, então du = -2x dx, ou seja, - 12 du = x dx.

Passo 7

Substituindo na integral:
integral xraiz1 - x^2 dx = -12 integral 1raizu du
A integral de 1raizu é 2raizu, então:
-12 cdot 2raizu = -raizu = -raiz1 - x^2

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
x cdot arccos x + (-raiz1 - x^2) = x cdot arccos x - raiz1 - x^2

Passo 9

Agora, precisamos avaliar essa expressão de 0 a 12:
[ x cdot arccos x - raiz1 - x^2 ]0^1/2

Passo 10

Calculando no limite superior x = 12:
12 cdot arccos(12) - raiz1 - (12)^2 = 12 cdot pi3 - raiz34 = pi6 - raiz32

Passo 11

Calculando no limite inferior x = 0:
0 cdot arccos(0) - raiz1 - 0^2 = 0 - 1 = -1

Passo 12

Subtraindo os valores:
( pi6 - raiz32 ) - (-1) = pi6 - raiz32 + 1

Resposta

A integral avaliada é 1 + pi6 - raiz32.

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