Avalie a integral.
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar quais partes da integral serão
e
na fórmula de integração por partes.
Passo 2
Lembrando a fórmula de integração por partes:
Precisamos escolher
e
de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.
Passo 3
Vamos definir:
Aqui, escolhemos
porque sua derivada
é mais simples, e
para facilitar a integração.
Passo 4
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Isso porque a integral de
é
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar
:
Portanto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Como estamos avaliando uma integral definida de 0 a
, vamos substituir os limites:
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Os termos com
desaparecem pois
e
.
Resposta
A integral avaliada é:
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