Avalie a integral. integral0^x t sen 3 t d t

Passo 1

Vamos resolver a integral integral0^x t sin 3t , dt. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar quais partes da integral serão u e dv na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Lembrando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher u e dv de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos definir:
u = t Rightarrow du = dt
dv = sin 3t , dt Rightarrow v = integral sin 3t , dt
Aqui, escolhemos u = t porque sua derivada du é mais simples, e dv = sin 3t , dt para facilitar a integração.

Passo 4

Agora, vamos integrar dv para encontrar v:
v = integral sin 3t , dt = -13 cos 3t
Isso porque a integral de sin 3t é -13 cos 3t.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral t sin 3t , dt = uv - integral v , du = t (-13 cos 3t) - integral (-13 cos 3t) dt
Simplificando:
= -13 t cos 3t + 13 integral cos 3t , dt

Passo 6

Agora, vamos integrar cos 3t:
integral cos 3t , dt = 13 sin 3t
Portanto:
= -13 t cos 3t + 13 cdot 13 sin 3t + C = -13 t cos 3t + 19 sin 3t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Como estamos avaliando uma integral definida de 0 a x, vamos substituir os limites:
integral0^x t sin 3t , dt = [ -13 t cos 3t + 19 sin 3t ]0^x

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
= ( -13 x cos 3x + 19 sin 3x ) - ( -13 cdot 0 cdot cos 0 + 19 sin 0 )
= -13 x cos 3x + 19 sin 3x
Os termos com 0 desaparecem pois 0 times cos 0 = 0 e sin 0 = 0.

Resposta

A integral avaliada é:
-13 x cos 3x + 19 sin 3x

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