Avalie a integral.

Passo 1

Vamos resolver a integral . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar quais partes da integral serão e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Lembrando a fórmula de integração por partes:
Precisamos escolher e de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos definir:
Aqui, escolhemos porque sua derivada é mais simples, e para facilitar a integração.

Passo 4

Agora, vamos integrar para encontrar :
Isso porque a integral de é .

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar :
Portanto:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Como estamos avaliando uma integral definida de 0 a , vamos substituir os limites:

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
Os termos com desaparecem pois e .

Resposta

A integral avaliada é:

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