Avalie a integral.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que avaliar a integral definida:
Aqui, estamos lidando com integração envolvendo a função arco-tangente,
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta útil quando a integral é o produto de duas funções.
Passo 2
Lembre-se que a fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar
e
.
Passo 3
Calculando
:
Primeiro, derivamos
em relação a
.
Usando a regra da cadeia:
Calculando
:
Integrando
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Passo 5
Vamos resolver a segunda integral:
Fazendo uma substituição simples:
Substituindo na integral:
Passo 6
Voltando à expressão anterior:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, de
a
.
Passo 7
Calculando no limite superior
:
Calculando no limite inferior
:
Sabemos que
.
Passo 8
Agora, subtraímos o valor no limite inferior do superior:
Podemos simplificar a expressão:
Resposta
A integral avaliada é:
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Primeiro faça uma substiuiço e entalo use a integraçao por partes para avaliar a integral.
Avalie a integral.
.