Avalie a integral.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que avaliar a integral definida:
Aqui, estamos lidando com integração envolvendo a função arco-tangente, . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta útil quando a integral é o produto de duas funções.

Passo 2

Lembre-se que a fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 3

Calculando :
Primeiro, derivamos em relação a .
Usando a regra da cadeia:
Calculando :
Integrando :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:

Passo 5

Vamos resolver a segunda integral:
Fazendo uma substituição simples:
Substituindo na integral:

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, de a .

Passo 7

Calculando no limite superior :
Calculando no limite inferior :
Sabemos que .

Passo 8

Agora, subtraímos o valor no limite inferior do superior:
Podemos simplificar a expressão:

Resposta

A integral avaliada é:

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Avalie a integral.
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Primeiro faça uma substiuiço e entalo use a integraçao por partes para avaliar a integral.
Avalie a integral. .