Avalie a integral. integral1^raizpi arctan (1 / x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que avaliar a integral definida:
integral1^raizpi arctan(1x) , dx
Aqui, estamos lidando com integração envolvendo a função arco-tangente, arctan(x). Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta útil quando a integral é o produto de duas funções.

Passo 2

Lembre-se que a fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = arctan(1x)
  • dv = dx
Agora, precisamos encontrar du e v.

Passo 3

Calculando du:
Primeiro, derivamos u em relação a x.
u = arctan(1x) du = ddx [arctan(1x)] , dx
Usando a regra da cadeia:
du = 11 + (1x)^2 cdot (-1x^2) , dx = -1x^2 + 1 , dx
Calculando v:
Integrando dv:
dv = dx v = integral dx = x

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du = arctan(1x) cdot x - integral x cdot (-1x^2 + 1) , dx = x cdot arctan(1x) + integral xx^2 + 1 , dx

Passo 5

Vamos resolver a segunda integral:
integral xx^2 + 1 , dx
Fazendo uma substituição simples:
w = x^2 + 1 dw = 2x , dx dw2 = x , dx
Substituindo na integral:
integral xx^2 + 1 , dx = 12 integral dww = 12 ln|w| + C = 12 ln(x^2 + 1) + C

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
integral1^raizpi arctan(1x) , dx = [x cdot arctan(1x) + 12 ln(x^2 + 1)]1^raizpi
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, de 1 a raizpi.

Passo 7

Calculando no limite superior x = raizpi:
raizpi cdot arctan(1raizpi) + 12 ln((raizpi)^2 + 1) = raizpi cdot arctan(1raizpi) + 12 ln(pi + 1)
Calculando no limite inferior x = 1:
1 cdot arctan(1) + 12 ln(1^2 + 1) = arctan(1) + 12 ln(2)
Sabemos que arctan(1) = pi4.

Passo 8

Agora, subtraímos o valor no limite inferior do superior:
[raizpi cdot arctan(1raizpi) + 12 ln(pi + 1)] - [pi4 + 12 ln(2)]
Podemos simplificar a expressão:
raizpi cdot arctan(1raizpi) + 12 ln(pi + 1) - pi4 - 12 ln(2)

Resposta

A integral avaliada é:
raizpi cdot arctan(1raizpi) + 12 ln(pi + 1) - pi4 - 12 ln(2)

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