Avalie integral-1^2 integral0^x+1 x^2 d x d y
Diva Calculo B p7.6.2n

Passo 1

Vamos resolver uma integral dupla, que envolve calcular a área sob uma superfície em duas dimensões. O enunciado é:
integral-1^2 integral0^x+1 x^2 , dy , dx
Aqui, estamos integrando a função em relação a de 0 até , e depois em relação a de -1 até 2. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as integrais duplas e como integrá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a integral0^x+1 x^2 , dy :
integral0^x+1 x^2 , dy = x^2 times (x + 1 - 0) = x^3 + x^2
Como não depende de , podemos tratar como uma constante durante essa integração. A integral de uma constante em relação a de até é simplesmente . Então:

Passo 3

Agora, precisamos integrar o resultado obtido acima em relação a integral-1^2 (x^3 + x^2) , dx , de -1 até 2:
integral x^3 , dx = 14x^4
Vamos integrar termo a termo:
  1. Integração de integral x^2 , dx = 13x^3 :
[ 14x^4 + 13x^3 ]-1^2
  1. Integração de 14(2)^4 + 13(2)^3 = 14(16) + 13(8) = 4 + 83 = 203 :
14(-1)^4 + 13(-1)^3 = 14(1) + 13(-1) = 14 - 13 = -112
Portanto, a integral completa fica:
203 - ( -112 ) = 203 + 112 = 8012 + 112 = 8112 = 274
Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
  • Para :
  • Para :
Subtraindo os valores:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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