Encontre a área da região que está dentro do cardiode
e fora do circulo
Thomas 12ed 15.4.28
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está dentro do cardióide
e fora do círculo
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria em coordenadas polares e cálculo de integrais para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção entre o cardióide e o círculo. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo:
Então, as curvas se interceptam quando
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando que
entre
e
, essa é a região onde o cardióide está fora do círculo.
Passo 4
Para calcular a área entre as duas curvas, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Substituindo os valores:
Passo 5
Expandindo o termo
:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 6
Para facilitar os cálculos, vamos aproveitar a simetria e calcular a integral de
a
, multiplicando o resultado por 2:
Passo 7
Vamos separar a integral:
Calculando cada parte:
-
- Para
, usamos a identidade :
Passo 8
Agora, avaliamos as integrais nos limites de
a
:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Somando os resultados das integrais:
Resposta
A área da região é
unidades de área.