Encontre a área da região que está dentro do cardiode r = 1 + cos(θ) e fora do circulo r = 1 Thomas 12ed 15.4.28

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está dentro do cardióide e fora do círculo . Para isso, vamos usar conceitos de geometria em coordenadas polares e cálculo de integrais para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção entre o cardióide e o círculo. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo:
Então, as curvas se interceptam quando e .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando que entre e , essa é a região onde o cardióide está fora do círculo.

Passo 4

Para calcular a área entre as duas curvas, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
óí
Substituindo os valores:

Passo 5

Expandindo o termo :
Substituindo na integral:
Simplificando:

Passo 6

Para facilitar os cálculos, vamos aproveitar a simetria e calcular a integral de a , multiplicando o resultado por 2:

Passo 7

Vamos separar a integral:
Calculando cada parte:
  1. Para , usamos a identidade :

Passo 8

Agora, avaliamos as integrais nos limites de a :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 9

Somando os resultados das integrais:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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