Calcule o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies e
Diva Calculo B p7.10.11
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies , e . Aqui, estamos lidando com geometria analítica e cálculo integral. Vamos precisar entender como essas superfícies se comportam no espaço e usar integrais duplas para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação . Para facilitar, vamos completar o quadrado para reescrever essa equação na forma padrão de um círculo.
Completando o quadrado para :
E para :
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Ou seja,
Isso representa um círculo com centro em e raio .
Passo 3
Agora, vamos entender as outras superfícies. Temos , que é o plano xy, e , que é um plano inclinado em relação ao eixo y.
Para encontrar o volume entre essas superfícies e o círculo que definimos, podemos usar uma integral dupla onde varia de até , e a área de integração é o círculo .
Passo 4
Vamos configurar a integral dupla para calcular o volume :
Onde é a região do plano xy definida pelo círculo .
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de coordenadas para centralizar o círculo na origem. Vamos definir:
Com isso, a região passa a ser , que é um círculo de raio 3 centrado na origem em coordenadas .
Além disso, .
Passo 6
Agora, reescrevemos a integral em coordenadas :
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Passo 7
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro:
Por simetria, essa integral é zero, já que a função é ímpar em relação a e a região é simétrica em relação ao eixo .
Segundo:
Áí
Passo 8
Agora, substituindo de volta na expressão para :
Resposta
O volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas é unidades cúbicas.