Calcular integral duplaR(x+y), onde R é a região do primeiro quadrante delimitada por x y=1, x y=2, x=y e y=4+x
Diva Calculo B p7.8.23

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaR(x+y) onde a região R está no primeiro quadrante e é delimitada pelas curvas xy=1, xy=2, x=y e y=4+x. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas e mudanças de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região R. Estamos no primeiro quadrante, então x >= 0 e y >= 0. As curvas que delimitam R são:
  1. xy = 1 (hipérbola)
  2. xy = 2 (hipérbola)
  3. x = y (reta)
  4. y = 4 + x (reta)
Vamos desenhar um esboço para visualizar como essas curvas se intersectam no primeiro quadrante.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas para definir os limites da região R.
Primeiro, vamos encontrar onde x = y se encontra com xy=1 e xy=2.
Para x = y e xy=1:
x cdot x = 1 Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x = 1 Rightarrow y = 1
Então, um ponto de interseção é (1,1).
Para x = y e xy=2:
x cdot x = 2 Rightarrow x^2 = 2 Rightarrow x = raiz2 Rightarrow y = raiz2
Então, outro ponto de interseção é (raiz2, raiz2).

Passo 4

Agora, vamos ver onde as hipérbolas xy=1 e xy=2 intersectam a reta y=4+x.
Para xy=1 e y=4+x:
x(4 + x) = 1 Rightarrow x^2 + 4x - 1 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
x = -4 pm raiz16 + 42 = -4 pm raiz202 = -4 pm 2raiz52 = -2 pm raiz5
No primeiro quadrante, temos x = -2 + raiz5 approx 0.236.
Para xy=2 e y=4+x:
x(4 + x) = 2 Rightarrow x^2 + 4x - 2 = 0
Resolvendo:
x = -4 pm raiz16 + 82 = -4 pm raiz242 = -4 pm 2raiz62 = -2 pm raiz6
No primeiro quadrante, x = -2 + raiz6 approx 0.449.

Passo 5

Agora que temos os pontos de interseção, vamos determinar as variáveis de integração. Observando as curvas, é mais fácil integrar em termos de x primeiro e depois y.
Para cada x no intervalo de x = 1 a x = raiz2, y varia de xy=1 a xy=2, ou seja, de y = 1x a y = 2x.
Além disso, precisamos considerar as retas y=4+x e y=x. No intervalo principal, essas retas não interferem diretamente nos limites principais, então nossa principal preocupação são as hipérbolas e as retas x=y.

Passo 6

A integral dupla pode ser escrita como:
integralx=1^raiz2 integraly=1x^2x (x + y) , dy , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integraly=1x^2x (x + y) , dy = integraly=1x^2x x , dy + integraly=1x^2x y , dy
= x [ y ]1x^2x + [ y^22 ]1x^2x
= x ( 2x - 1x ) + 12 ( (2x)^2 - (1x)^2 )
= x ( 1x ) + 12 ( 4x^2 - 1x^2 )
= 1 + 12 ( 3x^2 ) = 1 + 32x^2

Passo 8

Agora, vamos integrar isso em relação a x:
integralx=1^raiz2 (1 + 32x^2) dx = integralx=1^raiz2 1 , dx + 32 integralx=1^raiz2 1x^2 , dx
= [ x ]1^raiz2 + 32 [ -1x ]1^raiz2
= ( raiz2 - 1 ) + 32 ( -1raiz2 + 1 )
= raiz2 - 1 + 32 (1 - 1raiz2 )
= raiz2 - 1 + 32 - 32raiz2
= raiz2 - 1 + 1.5 - 32raiz2
= raiz2 + 0.5 - 32raiz2

Resposta

A integral dupla integral duplaR(x+y) sobre a região R é aproximadamente igual a raiz2 + 0.5 - 32raiz2.

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