Calcular
, onde
é a região do primeiro quadrante delimitada por
,
e
Diva Calculo B p7.8.23
Diva Calculo B p7.8.23
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
onde a região
está no primeiro quadrante e é delimitada pelas curvas
,
,
e
. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas e mudanças de variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Estamos no primeiro quadrante, então
e
. As curvas que delimitam
são:
-
(hipérbola) -
(hipérbola) -
(reta) -
(reta)
Vamos desenhar um esboço para visualizar como essas curvas se intersectam no primeiro quadrante.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas para definir os limites da região
.
Primeiro, vamos encontrar onde
se encontra com
e
.
Para
e
:
Então, um ponto de interseção é
.
Para
e
:
Então, outro ponto de interseção é
.
Passo 4
Agora, vamos ver onde as hipérbolas
e
intersectam a reta
.
Para
e
:
Resolvendo a equação quadrática:
No primeiro quadrante, temos
.
Para
e
:
Resolvendo:
No primeiro quadrante,
.
Passo 5
Agora que temos os pontos de interseção, vamos determinar as variáveis de integração. Observando as curvas, é mais fácil integrar em termos de
primeiro e depois
.
Para cada
no intervalo de
a
,
varia de
a
, ou seja, de
a
.
Além disso, precisamos considerar as retas
e
. No intervalo principal, essas retas não interferem diretamente nos limites principais, então nossa principal preocupação são as hipérbolas e as retas
.
Passo 6
A integral dupla pode ser escrita como:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 8
Agora, vamos integrar isso em relação a
:
Resposta
A integral dupla
sobre a região
é aproximadamente igual a
.