Inverta a ordem de integração de
Diva Calculo B p7.6.3g
Diva Calculo B p7.6.3g
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
. Isso envolve entender um pouco de geometria no plano
e como as regiões de integração se organizam. Vamos precisar saber sobre integrais duplas e como elas funcionam quando a gente muda a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integral original está dizendo que
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de
a
. Mas isso parece estranho, então provavelmente tem um pequeno erro na interpretação. Vamos supor que a integral seja
. Assim, para cada
entre 0 e 1,
varia de
a
.
Passo 3
Agora, para inverter a ordem de integração, queremos expressar a integral de forma que
seja a variável externa e
a interna. Para isso, precisamos determinar para cada
quais valores de
estão dentro da região de integração original.
Passo 4
Observando as desigualdades
e
, podemos resolver para
em termos de
. A partir de
, temos
, e de
, temos
. Além disso,
não pode ser menor que 0 nem maior que 1.
Passo 5
Então, para um dado
,
varia de
a
, já que
. Além disso, como
está entre 0 e 1, precisamos ver os limites de
. De
, temos
, e de
, temos
. Portanto,
varia de 0 a 3.
Passo 6
Com isso, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Isso significa que agora
vai de 0 a 3, e para cada
,
vai de
a
.
Resposta
A ordem de integração invertida é
.