Inverta a ordem de integração de integral0^1 integral2 x^3 x f(x, y) d x d y
Diva Calculo B p7.6.3g

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para inverter a ordem de integração da integral dupla . Isso envolve entender um pouco de geometria no plano e como as regiões de integração se organizam. Vamos precisar saber sobre integrais duplas e como elas funcionam quando a gente muda a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integral original está dizendo que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de a . Mas isso parece estranho, então provavelmente tem um pequeno erro na interpretação. Vamos supor que a integral seja . Assim, para cada entre 0 e 1, varia de a .

Passo 3

Agora, para inverter a ordem de integração, queremos expressar a integral de forma que seja a variável externa e a interna. Para isso, precisamos determinar para cada quais valores de estão dentro da região de integração original.

Passo 4

Observando as desigualdades e , podemos resolver para em termos de . A partir de , temos , e de , temos . Além disso, não pode ser menor que 0 nem maior que 1.

Passo 5

Então, para um dado , varia de a , já que . Além disso, como está entre 0 e 1, precisamos ver os limites de . De , temos , e de , temos . Portanto, varia de 0 a 3.

Passo 6

Com isso, a integral com a ordem de integração invertida fica:
integral0^3 integralx3^x2 f(x, y) , dy , dx
Isso significa que agora vai de 0 a 3, e para cada , vai de a .

Resposta

A ordem de integração invertida é .

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