Avalie a integral. integral0^1 r^3raiz4+r^3 d r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções racionais e raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e talvez uma aproximação numérica, já que a integral não tem uma antiderivada simples.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a integral usando substituição. Vamos definir uma nova variável u = 4 + r^3 que facilite a integração. Observando o denominador , uma boa escolha seria:

Passo 3

Calculando a derivada de dudr = 3r^2 em relação a dr = du3r^2 :
integral r^3raizu cdot du3r^2 = 13 integral rraizu , du
r = (u - 4)^1/3
Agora, substituímos 13 integral (u - 4)^1/3raizu , du e na integral original:
Como , podemos expressar em termos de :
Substituindo isso na integral:

Passo 4

Essa nova integral ainda é bastante complicada e não possui uma antiderivada que possa ser expressa de forma simples com funções elementares. Portanto, vamos optar por uma aproximação numérica para calcular o valor dessa integral.

Passo 5

Vamos usar a Regra de Simpson para aproximar a integral. Dividimos o intervalo Integral approx h3 [ f(0) + 4f(0,25) + 2f(0,5) + 4f(0,75) + f(1) ] em partes iguais e calculamos os valores da função nesses pontos. Para simplicidade, usaremos 4 subintervalos:
  1. Integral approx 0,253 [ 0 + 4(0,0078) + 2(0,0614) + 4(0,2005) + 0,4472 ] : Integral approx 0,253 times 1,4032
  2. Integral approx 0,1169 :
  3. :
  4. :
  5. :
Aplicando a Regra de Simpson:
Onde :

Resposta

Aproximadamente, o valor da integral é 0,117.

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