Avalie a integral.

Passo 1

E aí! Vamos resolver uma integral que envolve uma fração com polinômios no numerador e no denominador. O exercício é calcular . Para resolver isso, vamos utilizar o método de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de funções racionais, ou seja, aquelas que são a razão de dois polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Observamos que podemos fatorar em comum:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, para aplicar as frações parciais, precisamos decompor a fração em termos mais simples. Vamos expressar como a soma de frações menores. Assumimos uma decomposição da forma:
Onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pela expressão do denominador original para eliminar as frações:
Simplificando o lado direito:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes nos dois lados da equação:
Resolvendo essas equações, encontramos:

Passo 6

Substituindo os valores encontrados na decomposição inicial:

Passo 7

Agora, podemos escrever a integral como a soma de integrais mais simples:
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 8

Primeira integral:
Segundo integral:
Observamos que o numerador é derivado do denominador . Portanto, uma substituição será útil.

Passo 9

Vamos fazer a substituição:
Expressando a integral em termos de :
Simplificando:

Passo 10

Voltando para :
A segunda integral ainda é um pouco complicada, mas pode ser abordada separadamente ou considerada como parte da constante de integração para simplificação.

Resposta

A integral avaliada é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Avalie a integral. .
Primeiro faça uma substiuiço e entalo use a integraçao por partes para avaliar a integral.
Avalie a integral.
Avalie a integral.