Avalie a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral definida de
de 0 a 4. Vamos usar o método das frações parciais, que é uma técnica de integração quando temos uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Precisamos fatorar o denominador e dividir a expressão em partes mais simples pra facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Vamos procurar dois números que multiplicados dêem
e que somados dêem
. Esses números são
e
. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, podemos reescrever a fração
como uma soma de duas frações parciais. Vamos supor que:
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Para encontrar
e
, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores de
que facilitem a resolução. Primeiro, vamos deixar
:
Passo 5
Agora, escolhemos
para encontrar
:
Passo 6
Com os valores de
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente dentro dos limites de 0 a 4:
Passo 8
Sabemos que a integral de
é
. Aplicando isso, temos:
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 0 a 4:
Simplificando:
Como
, fica:
Resposta
O valor da integral é
.
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