Avalie a integral. integral0^4 x-1x^2-4 x-5 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral definida de de 0 a 4. Vamos usar o método das frações parciais, que é uma técnica de integração quando temos uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Precisamos fatorar o denominador e dividir a expressão em partes mais simples pra facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5) . Vamos procurar dois números que multiplicados dêem e que somados dêem . Esses números são e . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, podemos reescrever a fração x - 1(x + 1)(x - 5) = Ax + 1 + Bx - 5 como uma soma de duas frações parciais. Vamos supor que:
onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Para encontrar x - 1 = A(x - 5) + B(x + 1) e 5 - 1 = A(0) + B(6) Rightarrow 4 = 6B Rightarrow B = 23 , multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores de que facilitem a resolução. Primeiro, vamos deixar :

Passo 5

Agora, escolhemos -1 - 1 = A(-6) + B(0) Rightarrow -2 = -6A Rightarrow A = 13 para encontrar :

Passo 6

Com os valores de x - 1(x + 1)(x - 5) = 13x + 1 + 23x - 5 e , podemos reescrever a fração original:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente dentro dos limites de 0 a 4:
integral0^4 ( 13x + 1 + 23x - 5 ) dx = 13 integral0^4 1x + 1 dx + 23 integral0^4 1x - 5 dx

Passo 8

Sabemos que a integral de 13 ln|x + 1| + 23 ln|x - 5| é [ 13 ln|4 + 1| + 23 ln|4 - 5| ] - [ 13 ln|0 + 1| + 23 ln|0 - 5| ] . Aplicando isso, temos:
13 ln5 + 23 ln1 - ( 13 ln1 + 23 ln5 )
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 0 a 4:
13 ln5 - 23 ln5 = -13 ln5
Simplificando:
Como , fica:

Resposta

O valor da integral é .

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