Calcule as integrais
orientada pela campo normal que aponta para fora.
e
é o hemisfério
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície passo a passo! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos calcular a integral
, onde o campo vetorial
e
é a parte superior de uma esfera de raio 1, ou seja, o hemisfério definido por
com
. A superfície
está orientada para fora, ou seja, a normal aponta para fora da esfera. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que vai facilitar bastante nossos cálculos.
Passo 2
O Teorema da Divergência nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada
pode ser transformada em uma integral de volume sobre a região
delimitada por
. A fórmula é:
Mas atenção! Nosso
é apenas o hemisfério superior. Para aplicar o teorema, precisamos de uma superfície fechada. Então, vamos imaginar que adicionamos a base do hemisfério, que é o círculo no plano
. Vamos chamar essa base de
. Assim, a superfície fechada completa será
.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Onde
. Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora que sabemos que a divergência de
é 1, podemos aplicar o Teorema da Divergência. A integral de volume será:
A região
é o hemisfério de raio 1, então o volume de um hemisfério é metade do volume de uma esfera completa. O volume de uma esfera de raio
é
, então:
Passo 5
De acordo com o Teorema da Divergência:
Mas
, então:
Precisamos encontrar
, então vamos calcular a integral sobre a base
.
Passo 6
Na base
,
. A normal dessa superfície aponta para baixo (pois a superfície fechada deve ter a normal para fora), então
. O campo vetorial na base é
. Então:
Portanto,
Passo 7
Com isso, voltamos à equação anterior:
Ou seja,
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.
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.