Calcule as integrais integralS F cdot d S, S orientada pela campo normal que aponta para fora.
F(x, y, z)=(x,-2 x-y, z) e S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=1, z >= 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície passo a passo! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos calcular a integral integralS F cdot dS, onde o campo vetorial F(x, y, z) = (x, -2x - y, z) e S é a parte superior de uma esfera de raio 1, ou seja, o hemisfério definido por x^2 + y^2 + z^2 = 1 com z >= 0. A superfície S está orientada para fora, ou seja, a normal aponta para fora da esfera. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que vai facilitar bastante nossos cálculos.

Passo 2

O Teorema da Divergência nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada S pode ser transformada em uma integral de volume sobre a região V delimitada por S. A fórmula é:
integralS F cdot dS = integralV nabla cdot F , dV
Mas atenção! Nosso S é apenas o hemisfério superior. Para aplicar o teorema, precisamos de uma superfície fechada. Então, vamos imaginar que adicionamos a base do hemisfério, que é o círculo no plano z = 0. Vamos chamar essa base de Sbase. Assim, a superfície fechada completa será Stotal = S cup Sbase.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial F. A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Onde F = (Fx, Fy, Fz) = (x, -2x - y, z). Calculando cada derivada:
  • partial Fxpartial x = partial xpartial x = 1
  • partial Fypartial y = partial (-2x - y)partial y = -1
  • partial Fzpartial z = partial zpartial z = 1
Então,
nabla cdot F = 1 - 1 + 1 = 1

Passo 4

Agora que sabemos que a divergência de F é 1, podemos aplicar o Teorema da Divergência. A integral de volume será:
integralV nabla cdot F , dV = integralV 1 , dV = Volume de V
A região V é o hemisfério de raio 1, então o volume de um hemisfério é metade do volume de uma esfera completa. O volume de uma esfera de raio r é 43pi r^3, então:
Volume de V = 12 times 43pi (1)^3 = 23pi

Passo 5

De acordo com o Teorema da Divergência:
integralStotal F cdot dS = 23pi
Mas Stotal = S cup Sbase, então:
integralS F cdot dS + integralSbase F cdot dS = 23pi
Precisamos encontrar integralS F cdot dS, então vamos calcular a integral sobre a base Sbase.

Passo 6

Na base Sbase, z = 0. A normal dessa superfície aponta para baixo (pois a superfície fechada deve ter a normal para fora), então dS = (0, 0, -1) , dA. O campo vetorial na base é F(x, y, 0) = (x, -2x - y, 0). Então:
F cdot dS = (x, -2x - y, 0) cdot (0, 0, -1) = 0
Portanto,
integralSbase F cdot dS = 0

Passo 7

Com isso, voltamos à equação anterior:
integralS F cdot dS + 0 = 23pi
Ou seja,
integralS F cdot dS = 23pi

Resposta

A integral de superfície integralS F cdot dS é igual a dfrac23pi.

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