Calcule o fluxo do campo
, através da esfera
orientada pelo vetor normal que aponta para fora.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através de uma esfera
com raio
. Isso envolve conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o cálculo de fluxos através de superfícies. Para resolver, vamos usar a definição de fluxo e algumas propriedades de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede quanta “quantidade” do campo passa através da superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície:
onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
No nosso caso, a superfície
é uma esfera de raio
centrada na origem. O vetor normal que aponta para fora em cada ponto da esfera é simplesmente o vetor posição
dividido pela sua norma
, ou seja:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Já que estamos na esfera
, sabemos que
. Então:
Passo 5
Agora, substituímos
na integral de fluxo:
A integral
representa a área da esfera.
Passo 6
Sabemos que a área de uma esfera de raio
é:
Substituindo na expressão do fluxo:
Resposta
O fluxo do campo
através da esfera
é
.
Exercícios relacionados
Deduza a fórmula de Bháskara para a equação quadrática
.
Avalie a integral.
Calcule as integrais
orientada pela campo normal que aponta para fora.
e
é o cilindro
;
Determine se a série converge ou diverge. (teste de comparação)