Encontre a solução geral da EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que o exercício pediu. A equação é:
A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais Ordinárias, mais especificamente um tipo chamado Equação de Bernoulli. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para conseguir separá-la e integrá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação com o
sozinho. Para isso, dividimos todos os termos por 2:
Agora, a equação está no formato da Equação de Bernoulli:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
A equação de Bernoulli pode ser transformada em uma equação linear fazendo uma substituição. Vamos definir uma nova variável
de forma que:
Agora, precisamos achar
. Derivando
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
na equação original em termos de
e
. Voltando à equação que rearranjamos:
Isolando
:
Agora, multiplicando ambos os lados por
para substituir em
:
Mas lembra que
, então
. Substituindo:
Passo 5
Agora temos uma equação linear em
:
Para resolver isso, vamos usar o Fator Integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso nos permite reescrever o lado esquerdo como a derivada de
:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração. Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Agora, resolvemos para
:
E tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
A solução geral da EDO é
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral da EDO
Considere o PVI
Encontre uma solução para o PVI dado.
Calcule as integrais
orientada pela campo normal que aponta para fora.
e
é o hemisfério
;
Avalie a integral.