Encontre a solução geral da EDO
2y' + y = y^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que o exercício pediu. A equação é:
A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais Ordinárias, mais especificamente um tipo chamado Equação de Bernoulli. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para conseguir separá-la e integrá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação com o sozinho. Para isso, dividimos todos os termos por 2:
Agora, a equação está no formato da Equação de Bernoulli:
Aqui, , e .

Passo 3

A equação de Bernoulli pode ser transformada em uma equação linear fazendo uma substituição. Vamos definir uma nova variável de forma que:
Agora, precisamos achar . Derivando em relação a :

Passo 4

Substituímos na equação original em termos de e . Voltando à equação que rearranjamos:
Isolando :
Agora, multiplicando ambos os lados por para substituir em :
Mas lembra que , então . Substituindo:

Passo 5

Agora temos uma equação linear em :
Para resolver isso, vamos usar o Fator Integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso nos permite reescrever o lado esquerdo como a derivada de :

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração. Agora, resolvemos para :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Agora, resolvemos para :
E tirando a raiz quadrada dos dois lados:

Resposta

A solução geral da EDO é
onde é uma constante arbitrária.

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