Avalie a integral. integral1^4 raiz7 ln t d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é a integral definida . Isso está relacionado ao cálculo integral, especificamente à integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nesse caso, podemos escolher:
u = ln t e dv = raiz7 , dt

Passo 3

Agora, precisamos calcular du = 1t , dt e v = integral raiz7 , dt = raiz7 , t :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral ln t cdot raiz7 , dt = ln t cdot raiz7 , t - integral raiz7 , t cdot 1t , dt
Simplificando a segunda integral:
raiz7 integral 1 , dt = raiz7 , t

Passo 5

Então, substituindo de volta:
integral ln t cdot raiz7 , dt = raiz7 , t ln t - raiz7 , t + C
onde é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida de 1 a 4, vamos aplicar os limites.

Passo 6

Aplicando os limites de 1 a 4:
[ raiz7 , t ln t - raiz7 , t ]1^4 = ( raiz7 cdot 4 ln 4 - raiz7 cdot 4 ) - ( raiz7 cdot 1 ln 1 - raiz7 cdot 1 )
Sabemos que = raiz7 cdot 4 ln 4 - raiz7 cdot 4 - (0 - raiz7 cdot 1) , então simplificando:
= 4raiz7 ln 4 - 4raiz7 + raiz7
= 4raiz7 ln 4 - 3raiz7

Resposta

A integral é igual a .

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