integral0^t sec ^2(t / 4) d t,

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso é um exercício de cálculo, especificamente de integração. Para resolver, a gente vai precisar lembrar como integrar a função e também aplicar uma substituição para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de integral sec^2(x) dx = tan(x) + C em relação a é , onde é a constante de integração. Ou seja,

Passo 3

Agora, na nossa integral, temos du = 14 dt Rightarrow dt = 4 du . Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar . Então, derivando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

Substituindo integral0^t sec^2(t4) dt = integral0^u sec^2(u) cdot 4 du = 4 integral sec^2(u) du e 4 integral sec^2(u) du = 4 tan(u) + C na integral original, fica:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, voltamos à variável original substituindo 4 tan(u) + C = 4 tan(t4) + C :
[4 tan(t4)]0^t = 4 tan(t4) - 4 tan(0)
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 4 tan(t4) , a constante se elimina, então:
Como , fica:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados