Avalie integral0^2 integralraiz1-x^2^raiz4-x^2 x d x d y
Diva Calculo B p7.6.2g

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse integrão aqui: integral0^2 integralraiz1-x^2^raiz4-x^2 x , dy , dx. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente em integrais duplas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como integrar uma função em duas variáveis, ou seja, primeiro com respeito a uma variável e depois à outra. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a integral mais interna: integralraiz1-x^2^raiz4-x^2 x , dy. Aqui, estamos integrando a função x em relação a y, e os limites de integração para y vão de raiz1 - x^2 até raiz4 - x^2. Como o x é tratado como uma constante nessa integral, a integração com respeito a y é direta.

Passo 3

Integrando x com respeito a y, temos:
integralraiz1-x^2^raiz4-x^2 x , dy = x cdot [ y ]raiz1-x^2^raiz4-x^2
Ou seja, a integral de uma constante x em relação a y é apenas x multiplicado pela diferença dos limites superiores e inferiores.

Passo 4

Calculando essa diferença:
x cdot ( raiz4 - x^2 - raiz1 - x^2 )
Agora, a integral original se reduz a uma integral só em x:
integral0^2 x ( raiz4 - x^2 - raiz1 - x^2 ) dx

Passo 5

Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
integral0^2 x raiz4 - x^2 , dx - integral0^2 x raiz1 - x^2 , dx
Agora, vamos resolver cada integral individualmente usando substituição trigonométrica.

Passo 6

Primeiro, para integral x raiz4 - x^2 , dx, fazemos a substituição u = 4 - x^2, então du = -2x , dx ou -du/2 = x , dx. A integral fica:
-12 integral raizu , du = -12 cdot 23 u^3/2 + C = -13 u^3/2 + C
Voltando para x, temos:
-13 (4 - x^2)^3/2

Passo 7

Agora, para integral x raiz1 - x^2 , dx, usamos a substituição v = 1 - x^2, então dv = -2x , dx ou -dv/2 = x , dx. A integral fica:
-12 integral raizv , dv = -12 cdot 23 v^3/2 + C = -13 v^3/2 + C
Voltando para x, temos:
-13 (1 - x^2)^3/2

Passo 8

Agora, colocamos tudo junto e aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
[ -13 (4 - x^2)^3/2 ]0^2 - [ -13 (1 - x^2)^3/2 ]0^2

Passo 9

Calculando cada parte:
Para o primeiro termo quando x=2:
- 13 (4 - 4)^3/2 = -13 cdot 0 = 0
e quando x=0:
- 13 (4 - 0)^3/2 = -13 cdot 8 = -83
A diferença é 0 - (-83) = 83.
Para o segundo termo quando x=2:
- 13 (1 - 4)^3/2
Aqui, temos uma raiz de um número negativo, o que não é real. Então, isso indica que a segunda integral não contribui dentro dos limites reais que estamos considerando. Portanto, só consideramos a primeira parte.

Resposta

A integral vale 83.

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