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Diva Calculo B p7.6.2g
Diva Calculo B p7.6.2g
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse integrão aqui:
. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente em integrais duplas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como integrar uma função em duas variáveis, ou seja, primeiro com respeito a uma variável e depois à outra. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a integral mais interna:
. Aqui, estamos integrando a função
em relação a
, e os limites de integração para
vão de
até
. Como o
é tratado como uma constante nessa integral, a integração com respeito a
é direta.
Passo 3
Integrando
com respeito a
, temos:
Ou seja, a integral de uma constante
em relação a
é apenas
multiplicado pela diferença dos limites superiores e inferiores.
Passo 4
Calculando essa diferença:
Agora, a integral original se reduz a uma integral só em
:
Passo 5
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Agora, vamos resolver cada integral individualmente usando substituição trigonométrica.
Passo 6
Primeiro, para
, fazemos a substituição
, então
ou
. A integral fica:
Voltando para
, temos:
Passo 7
Agora, para
, usamos a substituição
, então
ou
. A integral fica:
Voltando para
, temos:
Passo 8
Agora, colocamos tudo junto e aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
Passo 9
Calculando cada parte:
Para o primeiro termo quando :
Para o primeiro termo quando
e quando
:
A diferença é
.
Para o segundo termo quando
:
Aqui, temos uma raiz de um número negativo, o que não é real. Então, isso indica que a segunda integral não contribui dentro dos limites reais que estamos considerando. Portanto, só consideramos a primeira parte.
Resposta
A integral vale
.