Avalie a integral
se as transformações
e
, são a complexificação da variável
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral definida de
de
a
da função
, onde
. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo complexo, mais especificamente, transformações que envolvem números complexos. As transformações dadas são:
Essas transformações vão nos ajudar a simplificar a integral usando variáveis complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essas transformações fazem. Elas transformam a variável real
em uma variável complexa
, onde
. Isso é útil porque nos permite usar ferramentas do cálculo complexo, como o teorema dos resíduos, para resolver integrais que seriam complicadas de resolver de outra forma.
Passo 3
Vamos substituir
na integral pela expressão em termos de
:
Então, a integral fica:
Aqui,
indica que estamos integrando ao longo do círculo unitário no plano complexo.
Passo 4
Precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que
, então:
Substituindo isso na integral, temos:
Vamos simplificar o denominador para facilitar os cálculos.
Passo 5
Multiplicando numerador e denominador por
para eliminar os
, obtemos:
Agora, a integral está em uma forma que podemos resolver usando o teorema dos resíduos.
Passo 6
Vamos encontrar as raízes do denominador
:
Como
, uma das raízes estará dentro do círculo unitário (
) e a outra fora.
Passo 7
Usando o teorema dos resíduos, a integral será
vezes o resíduo da função dentro do círculo unitário. Calculando o resíduo, encontramos que a integral original vale: