Avalie a integral oint0^2 pi d theta1+a cos theta,|a|<1 se as transformações cos theta= (z+z^-1) / 2 e sen theta=(z-z^-1) / 2 i, são a complexificação da variável theta in[0,2 pi).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral definida de cos theta = z + z^-12 e sin theta = z - z^-12i de a da função , onde . Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo complexo, mais especificamente, transformações que envolvem números complexos. As transformações dadas são:
Essas transformações vão nos ajudar a simplificar a integral usando variáveis complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essas transformações fazem. Elas transformam a variável real em uma variável complexa , onde . Isso é útil porque nos permite usar ferramentas do cálculo complexo, como o teorema dos resíduos, para resolver integrais que seriam complicadas de resolver de outra forma.

Passo 3

Vamos substituir cos theta = z + z^-12 na integral pela expressão em termos de oint0^2pi dtheta1 + a ( z + z^-12 ) = oint|z|=1 dtheta1 + a2(z + z^-1) :
Então, a integral fica:
Aqui, indica que estamos integrando ao longo do círculo unitário no plano complexo.

Passo 4

Precisamos expressar dz = i z dtheta Rightarrow dtheta = dzi z em termos de oint|z|=1 11 + a2(z + z^-1) cdot dzi z . Sabemos que , então:
Substituindo isso na integral, temos:
Vamos simplificar o denominador para facilitar os cálculos.

Passo 5

Multiplicando numerador e denominador por oint|z|=1 2z2z + a(z^2 + 1) cdot dzi z = oint|z|=1 2a z^2 + 2z + a cdot dzi para eliminar os , obtemos:
Agora, a integral está em uma forma que podemos resolver usando o teorema dos resíduos.

Passo 6

Vamos encontrar as raízes do denominador a z^2 + 2z + a = 0 Rightarrow z = -2 pm raiz4 - 4a^22a = -1 pm raiz1 - a^2a :
Como , uma das raízes estará dentro do círculo unitário ( ) e a outra fora.

Passo 7

Usando o teorema dos resíduos, a integral será 2piraiz1 - a^2 vezes o resíduo da função dentro do círculo unitário. Calculando o resíduo, encontramos que a integral original vale:

Resposta

oint0^2pi dtheta1 + a cos theta = 2piraiz1 - a^2

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