Mostre que a função f(z) = 1 - cos(z) tem um zero de ordem 2 no ponto z0 = 0 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função tem um zero de ordem 2 no ponto . Isso está dentro do estudo de funções analíticas e zeros de funções complexas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um zero de ordem e como calcular derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se . Substituindo na função:
Então, realmente é um zero da função .

Passo 3

Agora, para determinar a ordem desse zero, precisamos ver até qual derivada de em é igual a zero. Vamos calcular a primeira derivada de :
Substituindo :
Então, a primeira derivada também é zero em . Isso indica que o zero pode ter ordem maior que 1.

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada de :
Substituindo :
A segunda derivada não é zero em , o que significa que o zero é exatamente de ordem 2.

Resposta

A função tem um zero de ordem 2 no ponto .

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