Esboçe o gráfico e calcule a área limitada por um laço da curva: \[ r=\sin 2 \theta \]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da curva dada por
e calcular a área de um dos laços que essa curva forma. Esse problema está relacionado ao estudo de curvas polares e à cálculo de áreas em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a representação polar e usar a fórmula de integração para áreas em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Essa é conhecida como uma rosa de 4 pétalas, porque o número de pétalas é
quando a equação é
e
é par. No nosso caso,
, então temos 4 pétalas.
Passo 3
Para esboçar o gráfico, podemos calcular alguns pontos. Vamos variar
de 0 a
e ver os valores de
:
- Quando
, -
, (ponto máximo) -
, -
, (mas r negativo reflete o ponto no sentido oposto) -
,
E assim por diante. Isso nos dá as quatro pétalas simétricas ao redor do círculo.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área de um laço (uma pétala) da curva. A fórmula para a área
em coordenadas polares entre dois ângulos
e
é:
No nosso caso, queremos a área de uma pétala. Observando o gráfico, vemos que cada pétala está entre
e
.
Passo 5
Vamos substituir
na fórmula:
Primeiro, precisamos simplificar
. Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso, temos:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 8
Vamos calcular os limites:
Para
:
Para
:
Substituindo:
Resposta
A área limitada por um laço da curva
é
unidades de área.
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Avalie a integral
se as transformações
e
, são a complexificação da variável
.
<html><head></head><body><div>Mostre que a função <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“15.427ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 6818.7 1000”><title>f(z) = 1 - cos(z)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(550,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(939,0)”><path data-c=“1D467” d=“M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1404,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2070.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(3126.6,0)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g><g 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214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> tem um zero de ordem 2 no ponto <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.375ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“4.428ex” height=“1.694ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -583 1957.3 748.6”><title>z0 =</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msub”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D467” d=“M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(498,-150) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1179.3,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 0 .</div>
</body></html>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“15.427ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 6818.7 1000”><title>f(z) = 1 - cos(z)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.375ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“4.428ex” height=“1.694ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -583 1957.3 748.6”><title>z0 =</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msub”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D467” d=“M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(498,-150) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1179.3,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 0 .</div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Encontre a solução do problema de valor inicial em forma explícita. Determine, pelo menos aproximadamente, o intervalo no qual a solução está definida.<br>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -2.827ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“16.756ex” height=“6.785ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1749.5 7406 2999”><title>y’ = (1 - 2x) y^2, y(0) = -1/6</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 -0.5)”><path data-c=“7B” d=“M661 -1243L655 -1249H622L604 -1240Q503 -1190 434 -1107T348 -909Q346 -897 346 -499L345 -98L343 -82Q335 3 287 87T157 223Q146 232 145 236Q144 240 144 250Q144 265 145 268T157 278Q242 333 288 417T343 583L345 600L346 1001Q346 1398 348 1410Q379 1622 600 1739L622 1750H655L661 1744V1727V1721Q661 1712 661 1710T657 1705T648 1700T630 1690T602 1668Q589 1659 574 1643T531 1593T484 1508T459 1398Q458 1389 458 1001Q458 614 457 605Q441 435 301 316Q254 277 202 251L250 222Q260 216 301 185Q443 66 457 -104Q458 -113 458 -501Q458 -888 459 -897Q463 -944 478 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<html><head></head><body><div>Encontre a solução do problema de valor inicial dado.<br>
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