Esboçe o gráfico e calcule a área limitada por um laço da curva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da curva dada por
e calcular a área de um dos laços que essa curva forma. Esse problema está relacionado ao estudo de curvas polares e à cálculo de áreas em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a representação polar e usar a fórmula de integração para áreas em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Essa é conhecida como uma rosa de 4 pétalas, porque o número de pétalas é
quando a equação é
e
é par. No nosso caso,
, então temos 4 pétalas.
Passo 3
Para esboçar o gráfico, podemos calcular alguns pontos. Vamos variar
de 0 a
e ver os valores de
:
- Quando
, -
, (ponto máximo) -
, -
, (mas r negativo reflete o ponto no sentido oposto) -
,
E assim por diante. Isso nos dá as quatro pétalas simétricas ao redor do círculo.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área de um laço (uma pétala) da curva. A fórmula para a área
em coordenadas polares entre dois ângulos
e
é:
No nosso caso, queremos a área de uma pétala. Observando o gráfico, vemos que cada pétala está entre
e
.
Passo 5
Vamos substituir
na fórmula:
Primeiro, precisamos simplificar
. Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso, temos:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 8
Vamos calcular os limites:
Para
:
Para
:
Substituindo:
Resposta
A área limitada por um laço da curva
é
unidades de área.