Esboçe o gráfico e calcule a área limitada por um laço da curva:
r = sen(2 θ)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da curva dada por e calcular a área de um dos laços que essa curva forma. Esse problema está relacionado ao estudo de curvas polares e à cálculo de áreas em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a representação polar e usar a fórmula de integração para áreas em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Essa é conhecida como uma rosa de 4 pétalas, porque o número de pétalas é quando a equação é e é par. No nosso caso, , então temos 4 pétalas.

Passo 3

Para esboçar o gráfico, podemos calcular alguns pontos. Vamos variar de 0 a e ver os valores de :
  • Quando ,
  • , (ponto máximo)
  • ,
  • , (mas r negativo reflete o ponto no sentido oposto)
  • ,
E assim por diante. Isso nos dá as quatro pétalas simétricas ao redor do círculo.

Passo 4

Agora, vamos calcular a área de um laço (uma pétala) da curva. A fórmula para a área em coordenadas polares entre dois ângulos e é:
No nosso caso, queremos a área de uma pétala. Observando o gráfico, vemos que cada pétala está entre e .

Passo 5

Vamos substituir na fórmula:
Primeiro, precisamos simplificar . Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso, temos:

Passo 6

Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então:

Passo 8

Vamos calcular os limites:
Para :
Para :
Substituindo:

Resposta

A área limitada por um laço da curva é unidades de área.

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