Encontre a solução do problema de valor inicial em forma explícita. Determine, pelo menos aproximadamente, o intervalo no qual a solução está definida.
y' = (1 - 2x) y^2, y(0) = -1/6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado pede para encontrar a solução explícita dessa equação e determinar, pelo menos de forma aproximada, o intervalo onde essa solução está definida. Para isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais separáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação que temos:
E a condição inicial é .
Essa é uma equação diferencial do tipo separável, onde podemos separar as variáveis e para integrar ambos os lados.

Passo 3

Vamos separar as variáveis. Isso significa rearranjar a equação para termos somente funções de de um lado e funções de do outro:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral de em relação a é:
E a integral de em relação a é:

Passo 5

Igualando as integrais e adicionando a constante de integração:
Vamos resolver para :

Passo 6

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :
Isso simplifica para:
Portanto:

Passo 7

Substituindo o valor de na expressão de :
Podemos reescrever isso como:

Passo 8

Finalmente, temos a solução explícita da equação diferencial:

Resposta

A solução explícita do problema é:
Quanto ao intervalo de definição, a função está definida para todos os tais que o denominador não seja zero. Resolvendo:
As raízes dessa equação são e . Portanto, a solução está definida no intervalo .

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