Encontre a solução do problema de valor inicial em forma explícita. Determine, pelo menos aproximadamente, o intervalo no qual a solução está definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado pede para encontrar a solução explícita dessa equação e determinar, pelo menos de forma aproximada, o intervalo onde essa solução está definida. Para isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais separáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação que temos:
E a condição inicial é
.
Essa é uma equação diferencial do tipo separável, onde podemos separar as variáveis
e
para integrar ambos os lados.
Passo 3
Vamos separar as variáveis. Isso significa rearranjar a equação para termos somente funções de
de um lado e funções de
do outro:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Passo 5
Igualando as integrais e adicionando a constante de integração:
Vamos resolver para
:
Passo 6
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Isso simplifica para:
Portanto:
Passo 7
Substituindo o valor de
na expressão de
:
Podemos reescrever isso como:
Passo 8
Finalmente, temos a solução explícita da equação diferencial:
Resposta
A solução explícita do problema é:
Quanto ao intervalo de definição, a função está definida para todos os
tais que o denominador
não seja zero. Resolvendo:
As raízes dessa equação são
e
. Portanto, a solução está definida no intervalo
.