Determine a ordem do polo da função
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a ordem do polo da função
no ponto
. Vamos usar conceitos de funções complexas e teoria de polos para resolver isso. Precisaremos entender o que é um polo e como identificar sua ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polo. Em funções complexas, um polo de ordem
em
é um ponto onde a função tende ao infinito, e o menor número
que faz isso é a ordem do polo. Para encontrar a ordem do polo em
, precisamos analisar como a função se comporta perto desse ponto.
Passo 3
Vamos analisar a parte do denominador
. Sabemos que a série de Taylor para
em torno de
é:
Portanto,
Isso mostra que
tem um fator
, ou seja,
, onde
é uma função analítica em
e
.
Passo 4
Agora, substituindo isso na função original:
Como
é analítica e não zero em
, o comportamento de
perto de
é dominado por
.
Passo 5
Isso significa que
tem um polo em
e o termo dominante é
, indicando que o polo é de segunda ordem.
Resposta
A ordem do polo da função
em
é 2.