Determine a ordem do polo da função f(z) = 1 / (z * (e^z - 1)) para z0 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a ordem do polo da função no ponto . Vamos usar conceitos de funções complexas e teoria de polos para resolver isso. Precisaremos entender o que é um polo e como identificar sua ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polo. Em funções complexas, um polo de ordem em é um ponto onde a função tende ao infinito, e o menor número que faz isso é a ordem do polo. Para encontrar a ordem do polo em , precisamos analisar como a função se comporta perto desse ponto.

Passo 3

Vamos analisar a parte do denominador . Sabemos que a série de Taylor para em torno de é:
Portanto,
Isso mostra que tem um fator , ou seja, , onde é uma função analítica em e .

Passo 4

Agora, substituindo isso na função original:
Como é analítica e não zero em , o comportamento de perto de é dominado por .

Passo 5

Isso significa que tem um polo em e o termo dominante é , indicando que o polo é de segunda ordem.

Resposta

A ordem do polo da função em é 2.

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