Se
e
, encontre cada uma das funções e seus domínios.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções:
e
. O que a gente precisa fazer é encontrar a composição dessas funções, ou seja,
, que significa
. Além disso, vamos determinar os domínios de cada função. Para isso, vamos precisar entender como compor funções e como encontrar o domínio de funções compostas, especialmente quando envolvem raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a composição de funções. Quando a gente compõe duas funções,
, isso quer dizer que a gente vai substituir a saída da função
na função
. Então,
significa pegar o resultado de
e usar esse valor como entrada para a função
.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Sabemos que
. Então, substituindo
na função
, temos:
Isso pode ser escrito como:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o domínio da função composta
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Primeiro, vamos achar o domínio de
. A expressão dentro da raiz quadrada,
, precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá para tirar raiz quadrada de um número negativo. Então:
Portanto, o domínio de
é
.
Passo 5
Agora, vamos considerar a função composta
. A expressão dentro da raiz quadrada externa também precisa ser maior ou igual a zero:
Mas como
já é uma raiz quadrada, ela é sempre maior ou igual a zero quando está definida. Então, a única condição que precisamos considerar é o domínio de
, que já estabelecemos como
.
Resposta
A composição das funções é:
E o domínio de
é todos os números reais
tais que
.
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Se
e
, encontre cada uma das funções e seus domínios.
(d)
(d)
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.
(d)
(d)