Se e , encontre cada uma das funções e seus domínios.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções: e . O que a gente precisa fazer é encontrar a composição dessas funções, ou seja, , que significa . Além disso, vamos determinar os domínios de cada função. Para isso, vamos precisar entender como compor funções e como encontrar o domínio de funções compostas, especialmente quando envolvem raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a composição de funções. Quando a gente compõe duas funções, , isso quer dizer que a gente vai substituir a saída da função na função . Então, significa pegar o resultado de e usar esse valor como entrada para a função .

Passo 3

Vamos começar calculando . Sabemos que . Então, substituindo na função , temos:
Isso pode ser escrito como:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o domínio da função composta . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Primeiro, vamos achar o domínio de . A expressão dentro da raiz quadrada, , precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá para tirar raiz quadrada de um número negativo. Então:
Portanto, o domínio de é .

Passo 5

Agora, vamos considerar a função composta . A expressão dentro da raiz quadrada externa também precisa ser maior ou igual a zero:
Mas como já é uma raiz quadrada, ela é sempre maior ou igual a zero quando está definida. Então, a única condição que precisamos considerar é o domínio de , que já estabelecemos como .

Resposta

A composição das funções é:
E o domínio de é todos os números reais tais que .

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