Avalie a integral.
integral sec ^2 x3+2 tg x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição, uma técnica que ajuda a simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique o denominador. Vamos definir:
u = 3 + 2 tan x
Isso significa que estamos substituindo a expressão no denominador por uma variável mais simples.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2 sec^2 x em relação a du = 2 sec^2 x dx para substituir na integral. Derivando ambos os lados:
Isso nos mostra como está relacionado a .

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de sec^2 x dx = du2 e integral sec^2 x3 + 2 tan x dx = integral du2u . Sabemos que:
Substituindo isso na integral:
Isso simplifica a integral para uma forma mais fácil de resolver.

Passo 5

Agora, a integral ficou:
integral 12 cdot 1u du
Podemos tirar a constante 12 integral 1u du para fora da integral:
A integral de em relação a é bem conhecida.

Passo 6

Integrando, temos:
12 ln |u| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos substituir 12 ln |3 + 2 tan x| + C de volta para a expressão original em termos de :
Então, essa é a solução da integral.

Resposta

A integral 12 ln |3 + 2 tan x| + C é igual a:

Exercícios relacionados