Avalie a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição, uma técnica que ajuda a simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique o denominador. Vamos definir:
Isso significa que estamos substituindo a expressão no denominador por uma variável mais simples.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Derivando ambos os lados:
Isso nos mostra como
está relacionado a
.
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em termos de
e
. Sabemos que:
Substituindo isso na integral:
Isso simplifica a integral para uma forma mais fácil de resolver.
Passo 5
Agora, a integral ficou:
Podemos tirar a constante
para fora da integral:
A integral de
em relação a
é bem conhecida.
Passo 6
Integrando, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos substituir
de volta para a expressão original em termos de
:
Então, essa é a solução da integral.
Resposta
A integral
é igual a:
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Avalie a integral.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Calcule.
Calcule.