Calcule.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma fração polinomial:
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar manipular os polinômios no numerador e denominador e usar algumas técnicas de integração que envolvem completar o quadrado e decompor a fração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador:
. Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado desse polinômio.
Completar o quadrado significa reescrever
na forma
.
No nosso caso:
Já que:
Então:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o numerador:
. Queremos expressá-lo de forma que facilite a divisão pelo denominador. Vamos reescrever o numerador de maneira que possamos separar a fração em partes mais simples.
Podemos escrever:
Assim, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a primeira integral simples:
onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda integral:
Para isso, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos definir:
Substituindo, temos:
Passo 6
Vamos separar essa integral em duas partes:
A primeira parte é uma integral que se encaixa na forma de
, e a segunda parte também.
Passo 7
Resolvendo a primeira integral:
Aqui, fazemos a substituição
, então
. A integral se torna:
Passo 8
Agora, a segunda integral:
Passo 9
Voltando às variáveis originais, lembrando que
:
onde
é a constante geral de integração.
Resposta
A solução da integral é:
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