Calcule.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma fração polinomial:
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar manipular os polinômios no numerador e denominador e usar algumas técnicas de integração que envolvem completar o quadrado e decompor a fração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador: . Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado desse polinômio.
Completar o quadrado significa reescrever na forma .
No nosso caso:
Já que:
Então:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o numerador: . Queremos expressá-lo de forma que facilite a divisão pelo denominador. Vamos reescrever o numerador de maneira que possamos separar a fração em partes mais simples.
Podemos escrever:
Assim, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral simples:
onde é uma constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda integral:
Para isso, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos definir:
Substituindo, temos:

Passo 6

Vamos separar essa integral em duas partes:
A primeira parte é uma integral que se encaixa na forma de , e a segunda parte também.

Passo 7

Resolvendo a primeira integral:
Aqui, fazemos a substituição , então . A integral se torna:

Passo 8

Agora, a segunda integral:

Passo 9

Voltando às variáveis originais, lembrando que :
onde é a constante geral de integração.

Resposta

A solução da integral é:

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