Calcule.
integral x^2+2 x+3x^2+4 x+13 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma fração polinomial:
integral x^2+2x+3x^2+4x+13 , dx
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar manipular os polinômios no numerador e denominador e usar algumas técnicas de integração que envolvem completar o quadrado e decompor a fração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador: x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 + 9 . Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado desse polinômio.
Completar o quadrado significa reescrever (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 na forma x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 + 9 .
No nosso caso:
Já que:
Então:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o numerador: x^2 + 2x + 3 = (x^2 + 4x + 13) - 2x - 10 . Queremos expressá-lo de forma que facilite a divisão pelo denominador. Vamos reescrever o numerador de maneira que possamos separar a fração em partes mais simples.
Podemos escrever:
integral x^2+2x+3x^2+4x+13 , dx = integral (x^2+4x+13) - 2x - 10x^2+4x+13 , dx = integral 1 , dx + integral -2x - 10x^2+4x+13 , dx
Assim, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral simples:
integral 1 , dx = x + C1
onde é uma constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda integral:
integral -2x - 10(x + 2)^2 + 9 , dx
Para isso, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos definir:
u = x + 2 Rightarrow du = dx
Substituindo, temos:
integral -2(u - 2) - 10u^2 + 9 , du = integral -2u + 4 - 10u^2 + 9 , du = integral -2u - 6u^2 + 9 , du

Passo 6

Vamos separar essa integral em duas partes:
integral -2uu^2 + 9 , du + integral -6u^2 + 9 , du
A primeira parte é uma integral que se encaixa na forma de , e a segunda parte também.

Passo 7

Resolvendo a primeira integral:
integral -2uu^2 + 9 , du
Aqui, fazemos a substituição - ln|u^2 + 9| + C2 , então . A integral se torna:

Passo 8

Agora, a segunda integral:
integral -6u^2 + 9 , du = -6 integral 1u^2 + 3^2 , du = -6 cdot ( 13 arctan(u3) ) + C3 = -2 arctan(u3) + C3

Passo 9

Voltando às variáveis originais, lembrando que - ln|(x + 2)^2 + 9| - 2 arctan(x + 23) + C :
onde é a constante geral de integração.

Resposta

A solução da integral é:
x - ln(x^2 + 4x + 13) - 2, arctan(x + 23) + C

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