Calcule.
integral raiz9-(t-1)^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! Precisamos calcular a integral de raiz9 - (t - 1)^2 , dt. Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais que têm uma raiz quadrada de uma expressão quadrática. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que vai simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a substituição. Observe que 9 - (t - 1)^2 é uma expressão quadrática que se parece com a^2 - x^2, onde a = 3 e x = t - 1. Isso é importante porque sabemos que a integral de raiza^2 - x^2 , dx pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica.

Passo 3

Vamos fazer a substituição trigonométrica adequada. Seja t - 1 = 3 sin theta. Assim, x = 3 sin theta e dx = 3 cos theta , dtheta. Substituindo na integral original:
integral raiz9 - (t - 1)^2 , dt = integral raiz9 - (3 sin theta)^2 cdot 3 cos theta , dtheta

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raiz9 - 9 sin^2 theta = raiz9(1 - sin^2 theta) = raiz9 cos^2 theta = 3 cos theta
Substituindo de volta na integral:
integral 3 cos theta cdot 3 cos theta , dtheta = 9 integral cos^2 theta , dtheta

Passo 5

A integral de cos^2 theta , dtheta pode ser resolvida usando a identidade trigonométrica:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Então,
9 integral cos^2 theta , dtheta = 9 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 92 integral (1 + cos 2theta) , dtheta

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
92 ( integral 1 , dtheta + integral cos 2theta , dtheta ) = 92 ( theta + sin 2theta2 ) + C
Simplificando:
92 theta + 94 sin 2theta + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original t. Lembrando que fizemos a substituição t - 1 = 3 sin theta, então sin theta = t - 13. Portanto,
theta = arcsin( t - 13 )
Além disso, usando a identidade sin 2theta = 2 sin theta cos theta, temos:
sin 2theta = 2 cdot t - 13 cdot raiz9 - (t - 1)^23 = 2(t - 1)raiz9 - (t - 1)^29

Resposta

Substituindo de volta, a integral fica:
92 arcsin( t - 13 ) + 2(t - 1)raiz9 - (t - 1)^22 + C
Simplificando:
92 arcsin( t - 13 ) + (t - 1)raiz9 - (t - 1)^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados