Calcule.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Precisamos calcular a integral de . Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais que têm uma raiz quadrada de uma expressão quadrática. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que vai simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a substituição. Observe que é uma expressão quadrática que se parece com , onde e . Isso é importante porque sabemos que a integral de pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica.

Passo 3

Vamos fazer a substituição trigonométrica adequada. Seja . Assim, e . Substituindo na integral original:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:

Passo 5

A integral de pode ser resolvida usando a identidade trigonométrica:
Então,

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
Simplificando:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos a substituição , então . Portanto,
Além disso, usando a identidade , temos:

Resposta

Substituindo de volta, a integral fica:
Simplificando:
Onde é a constante de integração.

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