Calcule.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Precisamos calcular a integral de
. Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais que têm uma raiz quadrada de uma expressão quadrática. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que vai simplificar a expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a substituição. Observe que
é uma expressão quadrática que se parece com
, onde
e
. Isso é importante porque sabemos que a integral de
pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica.
Passo 3
Vamos fazer a substituição trigonométrica adequada. Seja
. Assim,
e
. Substituindo na integral original:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:
Passo 5
A integral de
pode ser resolvida usando a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
Simplificando:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, então
. Portanto,
Além disso, usando a identidade
, temos:
Resposta
Substituindo de volta, a integral fica:
Simplificando:
Onde
é a constante de integração.
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